§ 7. Принцип ферма. Оптическая длина пути

Основные законы геометрической оптики известны еще со времен Древней Греции. Но общих закономерностей распро­странения света в среде с непрерывно изменяющимся пока­зателем преломления (например, атмосфере) не было установ­лено до середины XVII в., когда французский математик П. Ферма (1601 —1665) предложил свой принцип: «Природа действует всегда наиболее короткими путями». Согласно прин­ципу Ферма световой луч распространяется по пути, на про­хождение которого требуется минимальное время. Математи­ческое выражение принципа Ферма связано с оптической дли­ной пути. Это понятие геометрической оптики, определяющее длину пути, который прошел бы свет в вакууме за время, в те­чение которого он распространяется от начальной точки А до конечной точки А' в рассматриваемых оптических средах. Под оптической длиной пути (l) понимается произведение геометрической длины пути луча l в однородной среде на по­казатель преломления этой среды:

(l) =nl (2.39)

Для неоднородной среды между точками А и А' (рис.8) оптический путь определится выражением

(l)= (2.40)

где n_i l_i – соответственно показатели пре-ломления и геометрические длины путей

каждой из k сред, принятых за однород-ные. В пределе (l)= (2.41)

Обозначим время, необходимое для распространения света на расстояние dl, через dt, имеем

dt = dl/v, (2.42)

где v — скорость распространения света в среде с показате­лем прелом-ления п. Время, необходимое для распространения света из точки А в точку А', равно

t = (2.43)

Согласно принципу наименьшего времени Ферма вариация интеграла, которым определяется время распространения света, должна обращаться в нуль:

(2.44)

или

(2.45)

Это и есть математическое выражение принципа Ферма. Выра­жение (2.45) является более общим, чем принцип Ферма, сформулированный первоначально [13].

Так как условие δt= 0 не является условием только мини­мума, это есть условие экстремума (минимума, максимума) или стационарности, следовательно, свет при распространении между двумя точками может «выбирать» не только путь, тре­бующий минимального времени прохождения, но также путь, требующий максимального времени, либо пути, требующие одинакового времени. Это основной принцип геометрической оптики.

Из принципа Ферма могут быть получены основные законы геометрической оптики и путь света в среде с непрерывно из­меняющимся показателем преломления [13, с. 168]

Оптические детали и системы в геодезических приборах плоское зеркало, системы зеркал

Плоское зеркало — оптическая деталь с плоской отражаю­щей поверхностью.

Чтобы построить изображение точки в плоском зеркале, до­статочно продолжить отраженные лучи до их пересечения или отложить от зеркальной плоскости в противоположную сто­рону по перпендикуляру расстояние s, равное расстоянию s до предмета (рис. 9).

Изображение в плоском зеркале является мнимым, равным предмету по размерам, одинаковым по форме, цвету и поло­жению, симметрично расположенным относительно зеркальной поверхности, но не сов-местимым с предметом при любых пово­ротах и перемещениях в одной плоскости. Зеркальное изобра­жение может быть только наложено на предмет. Зеркальное изображение еще называется полуобращенным. Изображение линии и любого тела в плоском зеркале суть изображение се­мейства отдельных точек предмета.

Оптическая сила[Отношение показателя преломления в пространстве изображений к заднему фокусному расстоянию системы называется оптической силой (Ф=п/f)] плоского зеркала равна нулю, по­этому при расчетах оптических систем плоские зеркала не при­нимаются во внимание.

В геодезических приборах широко применяются или отдель­ные плоские зеркала, или системы плоских зеркал для измене­ния направления луча, оборачивания изображения, параллель­ного смещения луча, при подсветке шкал, в компенсаторах наклона, отсчетных оптических системах, для построения пря­мых и других углов и т. п.

На рис. 10—14 показаны случаи применения одиночных плоских зеркал и систем плоских зеркал.

Рис. 9. Ход лучей и изображение Рис. 10. Отклонение луча плос- в плоском зеркале ким зеркалом

На рис. 10 угол отклонения луча от первоначального на­правления

При повороте зеркала на угол α (рис. 11) угол отклонения луча изменится на 2 α, т. е.

Два зеркала, расположенные под углом а (рис. 13), изме­няют направление луча на угол

Если α =45°, то система двух зеркал является эккером— прибором для построения прямых углов.

Действительно, на рис.13: δ=2ε₁+2ε₂, как внешний угол треугольника О₁О₂М. Угол α= 180˚-(90˚- ε₁)- (90˚- ε₂ )= ε₁+ ε₂, откуда имеем δ=90˚.

На рис. 14 угол α между двумя зеркалами равен 90°, та­кая система оборачивает луч.

Плоские зеркала мало весят и дают неискаженное изобра­жение, но их трудно установить в приборах. Применение зер­кал сопряжено со значительными потерями света. При λ = 0,555 мкм посеребренная поверхность зеркал отражает до 96% света, амальгамированная алюминием—до 95 %, золо­том—до 74%, хромом—до 46%. Металлические зеркала больше отражают света (от 60 до 100 %), но они быстро туск­неют, особенно в условиях влажного климата.

При изготовлении зеркал требуется высокое качество обра­ботки зеркальной поверхности. Кроме того, в ответственных узлах приборов не следует применять плоские зеркала с внут­ренним покрытием во избежание двоения изображения.

Наряду с плоскими зеркалами в геодезических приборах широко применяются отражательные призмы.