7.Нелінійна регресія

В багатьох економетричних процесах лінійні економетричні моделі зручно використовувати для їх дослідження і прогнозування. Але значна кількість економічних процесів по своїй суті не є лінійними, тобто показники (фактори), які описують такі процеси пов’язані між собою нелінійними залежностями. Наприклад, описання виробничого процесу за допомогою функції Кобба-Дугласа.

Розглянемо найпростіші нелінійні економітричні моделі, які можна звести за допомогою певних перетворень до лінійних економетричних моделей.

1. Логарифмічні моделі (log-моделі)

До таких моделей належать моделі, в яких залежність між двома показниками має вигляд:

(1)

(графіки)

Ця модель описує залежність між попитом на деякі товари від доходу, коли , і від ціни, коли . Ці криві при такому розумінні називаються кривими Енгеля.

Модель (1) зводиться до лінійної шляхом логарифмування:

, ,

Отримаємо лінійну модель . Параметри отриманої моделі можна знайти методом найменших квадратів. Якщо знайдені оцінки параметрів та , тобто отримано вибіркову модель , тоді оцінки параметрів моделі (1) знаходять за формулою:

Зауваження: економетрична логарифмічна модель має вигляд . При зведенні її до лінійної моделі ми опускали випадкову складову . Для того, щоб знайти оцінки параметрів отриманої лінійної моделі методом найменших квадратів випадкова складова цієї лінійної моделі повинна задовольняти ряд припущень. Тому виникає задача знаходження тих умов і припущень, які потрібно накладати на випадкову складову нелінійної моделі.

2. Економетричні моделі типу виробничих функцій

Виробнича функція – економетрична модель, яка кількісно описує зв'язок основних результативних показників виробничо-господарської діяльності з факторами, які впливають на ці показники.

Найпростіша економетрична модель типу виробничої функції має вигляд:

– обсяг (об’єм) продукції

– основний капітал

– робоча сила

– параметри моделі.

Якщо , то темпи приросту обсягу продукції вищі за темпи росту виробничих ресурсів.

Якщо , то навпаки, тобто темпи росту продукції нижчі за темпи росту ресурсів.

Якщо , то при збільшенні капіталу і робочої сили на r %, обсяг продукції збільшується більше ніж на r %.

До лінійно економетричної моделі зведення відбувається логарифмуванням:

Тоді отримаємо рівняння множинної лінійної регресії:

Оцінки параметрів отриманої моделі знаходять методом найменших квадратів.

3. Обернені моделі

Найпростіша обернена модель має вигляд:

Побудуємо графіки залежності в залежності від знаків параметрів та (графіки).

В залежності від знаків та вважають, що обернена модель описує наступні залежності:

Якщо , модель відображає залежність між доходом х і витратами на предмети розкоші у. Величина – мінімально необхідний рівень доходів для придбання предметів розкоші. В цьому випадку отриманий графік залежності називається кривою (функцією) Торнквіста.

Якщо , то обернена залежність відображає залежність між рівнем безробіття х і процентною зміною заробітної плати у. Відповідна крива називається кривою Філіпса. Точка перетину з віссю ОХ – це природній рівень безробіття.

4. Степеневі моделі

Степенева регресійна модель має вигляд:

Вона зводиться до лінійної за допомогою заміни:

В результаті отримують регресійну нелінійну модель:

Степенева регресійна модель в найпростішому випадку описує залежність між витратами на рекламу х і ростом прибутку у. (графік)

5. Показникові моделі

Показникові моделі мають вигляд: – вони зводяться до лінійних за допомогою логарифмування:

Отримують лінійну модель:

Зауваження: регресійні моделі можуть мати також вигляд, в який окремими частинами входять нелінійні регресійні моделі різних типів, наприклад, до такого типу моделей належать виробнича крива Кобба-Дугласа з врахуванням науково-технічного прогресу, яка має вигляд: