7.Нелінійна регресія
В багатьох економетричних процесах лінійні економетричні моделі зручно використовувати для їх дослідження і прогнозування. Але значна кількість економічних процесів по своїй суті не є лінійними, тобто показники (фактори), які описують такі процеси пов’язані між собою нелінійними залежностями. Наприклад, описання виробничого процесу за допомогою функції Кобба-Дугласа.
Розглянемо найпростіші нелінійні економітричні моделі, які можна звести за допомогою певних перетворень до лінійних економетричних моделей.
1. Логарифмічні моделі (log-моделі)
До таких моделей належать моделі, в яких залежність між двома показниками має вигляд:
(1)
(графіки)
Ця
модель описує залежність між попитом
на деякі товари від доходу, коли
,
і від ціни, коли
.
Ці криві при такому розумінні називаються
кривими Енгеля.
Модель (1) зводиться до лінійної шляхом логарифмування:
,
,
Отримаємо
лінійну модель
.
Параметри отриманої моделі можна знайти
методом найменших квадратів. Якщо
знайдені оцінки параметрів
та
,
тобто отримано вибіркову модель
,
тоді оцінки параметрів моделі (1) знаходять
за формулою:
Зауваження:
економетрична логарифмічна модель має
вигляд
.
При
зведенні її до лінійної моделі ми
опускали випадкову складову
.
Для того, щоб знайти оцінки параметрів
отриманої лінійної моделі методом
найменших квадратів випадкова складова
цієї лінійної моделі повинна задовольняти
ряд припущень. Тому виникає задача
знаходження тих умов і припущень, які
потрібно накладати на випадкову складову
нелінійної моделі.
2. Економетричні моделі типу виробничих функцій
Виробнича функція – економетрична модель, яка кількісно описує зв'язок основних результативних показників виробничо-господарської діяльності з факторами, які впливають на ці показники.
Найпростіша економетрична модель типу виробничої функції має вигляд:
– обсяг
(об’єм) продукції
– основний
капітал
– робоча
сила
– параметри
моделі.
Якщо
,
то темпи приросту обсягу продукції вищі
за темпи росту виробничих ресурсів.
Якщо
,
то навпаки, тобто темпи росту продукції
нижчі за темпи росту ресурсів.
Якщо , то при збільшенні капіталу і робочої сили на r %, обсяг продукції збільшується більше ніж на r %.
До лінійно економетричної моделі зведення відбувається логарифмуванням:
Тоді отримаємо рівняння множинної лінійної регресії:
Оцінки параметрів отриманої моделі знаходять методом найменших квадратів.
3. Обернені моделі
Найпростіша обернена модель має вигляд:
Побудуємо
графіки залежності в залежності від
знаків параметрів
та
(графіки).
В залежності від знаків та вважають, що обернена модель описує наступні залежності:
Якщо
,
модель відображає залежність між доходом
х
і витратами на предмети розкоші у.
Величина
– мінімально необхідний рівень доходів
для придбання предметів розкоші. В цьому
випадку отриманий графік залежності
називається кривою (функцією) Торнквіста.
Якщо
,
то обернена залежність відображає
залежність між рівнем безробіття х
і процентною зміною заробітної плати
у.
Відповідна крива називається кривою
Філіпса. Точка перетину з віссю ОХ – це
природній рівень безробіття.
4. Степеневі моделі
Степенева регресійна модель має вигляд:
Вона зводиться до лінійної за допомогою заміни:
В результаті отримують регресійну нелінійну модель:
Степенева регресійна модель в найпростішому випадку описує залежність між витратами на рекламу х і ростом прибутку у. (графік)
5. Показникові моделі
Показникові
моделі мають вигляд:
– вони зводяться до лінійних за допомогою
логарифмування:
Отримують
лінійну модель:
Зауваження: регресійні моделі можуть мати також вигляд, в який окремими частинами входять нелінійні регресійні моделі різних типів, наприклад, до такого типу моделей належать виробнича крива Кобба-Дугласа з врахуванням науково-технічного прогресу, яка має вигляд:
