13. Знаходження оцінок параметрів моделі за допомогою узагальненого методу найменших квадратів (метод Ейткена)

При наявності гетероскедастичності оцінки параметрів моделі, які отримані методом найменших квадратів є неефективними, тобто вони не будуть мати найменшу дисперсію, порівняно з оцінками параметрів моделі отриманих іншими методами.

Для знаходження ефективних оцінок параметрів потрібно використати інші методи. Одним з таких методів є узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Суть методу: вихідну економетрична модель в якій присутня гетероскедастичність за допомогою певного перетворення приводять до моделі, в якій присутня гомоскедастичність. Перетворення вихідної моделі в гомоскедастичну відбувається шляхом коригування (перетворення) вихідної інформації стосовно змінних моделі. Для цього використовується вигляд залежності дисперсії залишків від тієї чи іншої змінної моделі. Враховуючи вигляд цієї залежності за певними правилами будують (формують) квадратну матрицю S, розмір якої співпадає з об’ємом (розмірністю) вибірки.

Формула для оцінки параметрів моделі тоді матиме вигляд:

Якщо, наприклад, вважати, що дисперсія залишків пропорційна до зміни незалежної змінної , тоді матриця S матиме вигляд:

14. Поняття автокореляції та її наслідки

При знаходженні оцінок параметрів методом найменших квадратів накладалась умова про незалежність між собою значень залишків моделі , яку можна записати в наступному вигляді:

Якщо між значеннями випадкових величин існує певна залежність, то вважають, що присутня автокореляція (послідовна кореляція) залишків. При наявності автокореляції виконується умова .

Автокореляцію в основному розглядають, коли фактори (незалежні змінні) задаються в залежності від часу. Наприклад, дані за дні, місяці, роки. В таких випадках замість порядкового номера і у вибірці використовують позначення t. Об’єм вибірки позначають Т замість n. Параметр Т означає час протягом якого ведуться спостереження.

Зауваження: для зручності можна використовувати у формулах різні позначення.

Найпростішими типами залежності значень випадкових величин є від’ємна та додатна автокореляція. Вважають, що автокореляція додатна (позитивна), якщо:

або

Автокореляція від’ємна (негативна) якщо:

або

Нехай x – дохід сім’ї, а у – витрати на прохолоджуючі напої. Припустимо між ними існує лінійна залежність, що маємо вибірку за певний період часу (графік)

Нехай знайдено вибіркове рівняння регресії: . Як видно з малюнка, що оцінки залишків моделі мають додатній знак в літній період і менше нуля в зимовий період. Тобто, між двома сусідніми залишками існує певна залежність. Значить в такій моделі присутня автокореляція залишків.

Наслідки автокореляції

Основними наслідками автокореляції є:

1. Залежність між собою значень залишків приводить до знаходження зміщених оцінок дисперсії в сторону їх зменшення. Тому отримані значення t-критерію для оцінки значимості коефіцієнтів геометричної моделі будуть завищеними (ці оцінки присутні в знаменниках), внаслідок чого можуть вважатися статистично значимими коефіцієнти моделі, які в дійсності не є.

2. Оцінка дисперсії

може бути зміщеною оцінкою дійсного значення дисперсії, при чому в багатьох випадках заниженою.

3. Висновки по F-критерію та t-критерію, які визначають адекватність моделі і значимість коефіцієнта кореляції можуть бути невірними. Це призводить до отриманих неправдоподібних висновків відносно прогнозованих значень.