3. Властивості оцінок параметрів лінійної регресії

Оцінки параметрів парної лінійної регресії, знайдені методом найменших квадратів є найкращими незміщеними лінійними оцінками або так званими BLUE оцінками. Це означає наступне:

• Вони є незмінними, тобто задовольняють умови:

, тобто при багаторазовому повторенні вибірки помилки при знаходженні оцінок параметрів є такими, що їх середнє значення рівне 0.

• Оцінки параметрів є ефективними, тобто, мають найменшу дисперсію серед всіх інших незміщених оцінок, які отримані іншими методами.

• Оцінки параметрів є обґрунтованими, тобто, для будь-якого ймовірність . Це означає, що при великій вибірці оцінки параметрів відрізняються від дійсних параметрів менше як за будь-яких з ймовірністю 1.

Зауваження: оцінки параметрів є BLUE оцінками при умові, що випадкову величину і змінні моделі накладається ряд додаткових умов.

4. Перевірка лінійної регресії на адекватність (значимість) за допомогою f-критерію Фішера.

При побудові на основі вибірки отримують вибіркову (випадкову) модель парної лінійної регресії. Перевірку її на значимість (адекватність) і перевірку значимості її коефіцієнтів здійснюється на основі перевірки статистичних гіпотез.

Суть перевірки статистичних гіпотез: висувається (формується) початкова (нульова) гіпотеза Н₀, а також альтернативна їй гіпотеза Н₁. Вибирають деякий критерій, при цьому вважають, що він має один із статистичних способів розподілу випадкових величин, знаходять фактичне значення критерію. Потім за таблицями при заданому рівні значимості знаходять критичне значення критерію, який має такий самий закон розподілу. Порівнюють між собою отримані значення критерію і роблять наступний висновок: або приймається гіпотеза Н₀ або альтернативна їй Н₁.

Якщо значення коефіцієнта детермінації або , то тоді можна стверджувати про адекватність чи неадекватність побудованої моделі дійсній моделі.

Якщо , тоді перевірку на адекватність здійснюють за допомогою F-критерію Фішера.

Алгоритм перевірки

1. Формулюють статистичні гіпотези:

Якщо приймається нульова гіпотеза, тоді вважають, що побудована модель неадекватна дійсній. Якщо приймається альтернативна гіпотеза , побудована модель адекватна дійсній.

2. Задають (вибирають) критерій:

Де – кількість елементів у вибірці. Вважають, що даний критерій має розподіл Фішера з ступенями вільності (свободи).

3. Задають рівень значимості .

Якщо рівень значимості – це означає, що при прийнятті нульової гіпотези ми можемо помилитися не більше ніж в 5 випадках зі 100.

4. Знаходять фактичне значення критерію

5. Знаходять за таблицями розподілу Фішера критичне значення для вибраного рівня значимості і ступенів вільності .

6. Порівнюють між собою значення та .

Якщо , тоді приймається нульова гіпотеза і вважається побудована регресійна модель неадекватна дійсній, тобто не є значимою. В цьому випадку потрібно знаходити (вибирати) інший тип моделі, для описання зв’язку між змінними х та у.

Якщо , нульова гіпотеза відкидається, приймається альтернативна гіпотеза , і вважається, що побудована модель адекватна дійсній, тобто є значимою.

Зауваження: функція розподілу випадкової величини з розподілом Фішера має графік (графік).