1.8.Теоремы умножения вероятностей

Произведением двух событии называется событие д = а*в, состоя­щее в совместном появлении (совмещении) событий А и В.

Для независимых событий:

Для зависимых событий: ,

где Р_А(В) - условная вероятность, т.е. вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Теоремы применимы для любого конечного числа событий.

Пример1. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания их в мишень равна соответственно: 80%, 90%, 50%. Какова вероятность, что все трое попадут в цель?

Событие А – первый стрелок попал в цель, Р(А) = 80% = 0,8.

Событие В – второй стрелок попал в цель, Р(В) = 90% = 0,9.

Событие С – третий стрелок попал в цель, Р(С) = 50% = 0,5.

События А, В, С – независимые.

Р(все попадут в цель) = Р(А и С и В) = P(A)*P(B)*P(C) = 0,8*0,9*0,5=0,36.

Пример 2. Студент выучил 30 вопросов из 40. Какова вероятность, что он ответит на два наугад предложенных вопроса?

Событие А – студент ответит на первый вопрос, Р(А) = 30/40.

Событие В – студент ответит на второй вопрос, Р(В) = 29/39, при условии, что он ответил на первый. События А и В – зависимые.

Р(А и В) = Р(А)*Р_А(В) = 30/40*29/39 = 29/52  0,558.

1.9. Полная группа событий

Полной группой называется совокупность событий А₁, А₂, …,А_n, если они 1) несовместимы, 2) единственно возможны.

Свойство вероятностей для полной группы событий:

Противоположные события А и – это два события, образующие полную группу; они несовместны и единственно возможны. Обозначим Р(А) = р, Р( ) = q. Имеем:

Пример 1. Событие а - попадание в цель, Р(А)=0,7. Тогда событие – промах, Р( ) = 1–0,7=0,3;

Пример 2. Событие А – выигрыш, В – проигрыш и С – ничья – образуют полную группу событий для законченной игры:

Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1.

1.10. Вероятность появления только одного из независимых событий

Пусть А и В - независимые события.

Р(только одно событие) = Р(А и или и В) = P(А)*Р( )+Р(В)*Р( ). Пусть А, В, С – независимые события.

Р (только одно событие)=Р (А и и , или и В и , или и и С) = =Р(А)*Р( )*Р( ) + Р( )*Р(В)*Р( ) +Р( )*Р( )*Р(С).

Пример. Для сигнализации об аварии установлены три независимо ра­ботающих устройства, вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9; второе – 0,85; третье – 0,8. Найти вероятность того, что срабатывает только одно устройство.

Решение. Обозначим события:

А – сработает первое устройство, Р(А) = 0,9;

В – сработает второе устройство, Р(В) = 0,85;

С – сработает третье устройство, Р(С) = 0,8;

– не сработает первое устройство, P( ) = 0,1;

- не сработает второе устройство, Р( ) = 0,15;

– не сработает третье устройство, Р( ) = 0,2.

Р (только одно устройство сработает)=

=Р(А и и , или и В и , или и и С)=

= 0,9*0,15*0,2 + 0,1*0,85*0,2 + 0,1*0,15*0,8 = 0027+0,017+0,012 = 0,056.

1.11.Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий

1. А и В – независимые события.

Р (хотя бы одно событие) =1 – Р(ни одного события) = 1 – Р(АВ).

2. А, В, С – события, независимые в совокупности.

Р(хотя бы одно событие) = 1 – Р(ни одного события) = 1 – Р(АВС).

Пример. Рабочий обслуживает три однотипных станка. Вероятность того, что каждый из станков в течение часа потребует внимания рабочего, соответственно равна 0,6; 0,8; 0,5. Найти вероятность того, что в течение часа потребует внимания рабочего хотя бы один станок.

Решение. Обозначим события:

А – внимание рабочего потребует 1-й станок, P(А) = 0,6;

– внимание рабочего не потребует 1-й станок, Р( )=0,4;

В – внимание рабочего потребует 2-й станок, Р(В) = 0,8;

– внимание рабочего не потребует 2-й станок, Р( )= 0,2;

С – внимание рабочего потребует 3-й станок, Р(С) = 0,5;

– внимание рабочего не потребует 3-й станок, Р( ) = 0,5;

Е – хотя бы один станок потребует внимания;

– ни один станок не потребует внимания.

Е и – противоположные события, тогда

Р(Е) = 1 – Р( ) = 1– Р( ) = 1 – 0,4*0,2*0,5 = 1 – 0,04 = 0,96.