Примеры нахождения вероятности по классическому определению

Пример1. В группе 10 лыжников. Среди них трое имеют возраст от 18 до 20 лет, остальные – от 20 до 22 лет. Путем жеребьевки на соревнования должен быть выставлен один лыжник. Найти вероятность того, что выбранным окажется лыжник в возрасте от 20 до 22 лет.

Решение: событие А - выбран лыжник в возрасте от 20 до 22 лет. Число всех возможных элементарных исходов n = 10. Число благоприятствующих исходов m =7. Тогда

Пример 2. Монета бросается два раза. Найти вероятность двукратно­го выпадения герба.

Решение: событие А - двукратное выпадение герба. Число всех элементарных исходов n = 4 (ГГ, ГР, РГ, РР). Число благоприятствующих исходов m = 1 (ГГ). Тогда

Пример 3. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу шаров окажутся три белых и два чер­ных шара.

Решение: событие А – из взятых 5 шаров 3 белых и 2 черных. Всего в урне 14 шаров. Число всех возможных элементарных исходов – это число способов выбрать из 14 шаров по 5. Оно равно числу сочетаний из 14 по 5:

Число благоприятствующих исходов – это когда из 5 взятых шаров 3 окажутся белыми (любые из 6 белых), и 2 черными (любые из 8 черных). Число способов выбрать 3 белых шара из 6: .Число способов выбрать 2 черных шара из 8: .

Так как любые 3 белые шара могут встретиться с любыми 2 черными, то по правилу произведения:

.

Тогда

Пример 4. На каждом из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, Т, Ы, Р, С, О. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположен­ных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».

Решение. Событие А - на четырех вынутых карточках можно про­честь слово «трос», число всех возможных элементарных исходов – это число способов выбрать из 6 букв 4. Оно равно числу размещений из 6 по 4:

Число благоприятствующих исходов m =1. Тогда

1.7. Теоремы сложения вероятностей

Суммой событий называется событие Д=А+В, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Для несовместных событий:

Для совместных событий:

где A и B =A*B - произведение (совмещение) событий.

Пример1. Вероятность того, что в мужской секции магазина будет продана пара обуви 44 размера, равна 0,121; 45 -го размера – 0,04;

46-го и больше – 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара обуви не менее 44 размера.

Решение. Обозначим события:

А – продана пара обуви 44 размера, Р(А) = 0,12;

В – продана пара обуви 45 размера, Р(В) = 0,04;

С – продана пара обуви 46 и более, Р(С) = 0,01;

Д – продана пара обуви не менее 44 размера, Р(Д) = ?

События А,В,С несовместимы.

Р(Д) = P(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С) = 0,12+0,04+0,01= 0,17

Пример 2. Найти вероятность того, что подброшенная игральная кость упадет, показав на верхней грани или четное, или кратное трем, число очков.

Решение. Обозначим события:

А – появление четного числа очков;

В - появление числа очков, кратного трем. События А и В – совместимые.

Р(А) = 3/6=1/2 (3 грани из 6 имеют четное число очков).

Р(В) = 2/6=1/3 (2 грани из 6 имеют число очков, кратное трем).

Р(АВ) = Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = (1/2) *(1/3) = 1/6 (1 грань из 6 имеет четное число очков, кратное трем).

Р(А или В)=Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ)= 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3.