0

Методическая разработка составлена на основе материалов занятий со студентами-заочниками в соответствии с программой экономических специальностей. Краткие теоретические сведения собраны в виде справочных материалов, приводятся образцы решения типовых задач.

Методические указания могут быть пригодными для студентов всех форм обучения.

Составитель: канд. физ.-мат. наук, доц. Адамчук А.С.

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, проф. Семенчин Е.А.

Методические указания охватывают материал большей части курса теории вероятностей и математической статистики экономических, технических специальностей и специальности 010200 «Прикладная математика». Основные положения теории изложены в краткой справочной форме, иллюстрируются примерами и образцами решенных задач.

Методические указания предназначены для первого знакомства с курсом теории вероятностей и основами математической статистики, не требуют специальной предварительной математической подготовки и могут использоваться студентами для самоподготовки и как руководство к решению типовых задач.

Методические указания содержат разделы:

- основные понятия и теоремы теории вероятностей;

• случайные величины и их основные характеристики;

• основные положения математической статистики;

• понятие о статистических гипотезах и критерий согласия Пирсона;

• основы теории корреляции.

Методические указания соответствуют начальному курсу теории вероятностей и математической статистики и могут быть полезны также студентам других, в том числе гуманитарных, специальностей.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных явлений.

Тема 1. Основные понятия и теоремы

1. Основные понятия теории вероятностей

Испытание - исходное, неопределяемое понятие (наблюдение, явление, опыт, т.е. наличие комплекса определенных условий).

Событие - результат (исход) испытания, обозначается А, В, С...

Примеры:

Испытание	Событие
1.Сдача экзаменов 2. Выстрел по цели 3.Подсчет дневного товарооборота мага­зина	Получение оценки 4 Попадание в цель Товарооборот 200 млн. руб.

Виды событий:

1) Несовместимые - не могут появиться вместе в одном испытании;

2) единственно возможные - появится хотя бы одно в результате испытания, других нет;

3) равновозможные - у каждого события нет преимуществ для появления перед другими.

Пример 1. В результате шахматной партии для данного игрока возможны исходы: выигрыш (событие А), проигрыш (событие В), ничья (событие С). Эти события несовместимы, единственно возможны, но не являются равновозможными.

Пример 2. При подбрасывании монеты возможны исходы: выпаде­ние герба (орла)- событие А; выпадение цифры (решка)- событие В. Эти события равновозможные, единственно возможны, несовместимы.

1.2.Система элементарных исходов

Пусть в результате испытания могут появиться исходы Е_i, где i = 1, 2, 3, ... n . События Е₁, Е₂, … , Е_n образуют систему /пространство/ элементарных исходов, если они: 1) несов­местимы; 2) единственно возможны, 3) по каждому исходу Е_i мож­но судить о появлении события А, которое может произойти в ре­зультате данного испытания.

Таким образом, любое событие А является подмножеством в про­странстве { Е_i }.

Пример. Подбрасывается игральная кость, на верхней грани выпало 2 очка . Событие Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, Е₆ /выпало i очков - событие Е_i, i = 1, 2, 3, 4, 5,6/ образуют систему элементарных исходов, так как они несовместимы, единственно возможны, и по каждому из них можно судить о появлении любого из событий. Например:

С обытие А - выпало четное число очков;

событие В - выпало число очков, кратное 3;

событие С - выпало не менее 4 очков;

событие Д - выпало 5 очков, и т.п.

Благоприятствующими событию называются те элементарные ис­ходы, при которых интересующее нас событие наступает. Например:

Событию А благоприятствуют исходы Е₂, Е₄, Е₆;

событию В благоприятствуют исходы Е₃, Е₆;

событию С – исходы Е₄, Е₅, Е₆;

событию Д – исходы Е₅;

1.3. Классическое определение вероятности

Определение: Вероятностью события А называется отношение коли­чества благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу равновозможных элементарных исходов:

,

где n – общее количество равновозможных элементарных исходов;

m – количество благоприятствующих событию А исходов.

Продемонстрируем это определение на урновой схеме.

П усть в урне n одинаковых на ощупь шаров, m из них красные /m  n/. Испытание – извлечение наугад одного шара, элементарный исход – появле­ние конкретного шара. Всего элементарных исходов n (по числу шаров), все элементарные исходы равновозможны. Событие А - появление красного шара, m – число исходов, благоприятствующих событию А (по числу красных шаров).

Если n = 20, m = 12, то

Классическое определение вероятности не всегда применимо на практике, так как:

1) должно быть наперед известно количество всех элементарных исходов и число исходов, благоприятствующих событию А;

2) все элементарные исходы должны быть равновозможны, что далеко не всегда имеет место.

Например, в результате сдачи экзамена возможны события: получе­ние оценки 5 (событие А), оценки 4 (событие В), оценки 3 (событие С), оценки 2 (событие Д). События А, В,С, Д образуют систему элемен­тарных исходов, но так как они не являются равновозможными, то классическое определение вероятности здесь неприменимо.