1.4. Статистическое определение вероятности

Проводится серия статистических наблюдений, N – количество наблюдений, M – число появления события А (M  N).

- относительная частота появления события А.

Если в различных сериях наблюдений относительные частоты меняются мало, т.е. обладают свойством устойчивости, то можно ввести понятие вероятности.

Определение. Статистической вероятностью события А называется число, около которого группируются устойчивые значения относительных частот:

Пример. Статистика наблюдений за рождением детей в Австрии с 1866 по 1905 годы показывает, что частота рождения мальчиков

колеблется от 0,513 до 0,517, причем значение 0,513 встретилось 2 раза; 0,514 – 17 раз; 0,515 – 11 раз; 0,516 – 9 раз; 0,517 – 1 раз. Так как значения относительной частоты W устойчивы (меняются мало), то можно ввести понятие вероятности рождения мальчика (событие А):

Вероятность рождения мальчика принято считать равной 0,515 (51,5%).

1.5. Значения вероятности

Вероятность – это число, которое служит количественной мерой объективной возможности наступления события А.

,

где 0  m  n , поэтому

1. Р(А) = 1. Событие А - достоверное, оно обязательно появится в ре­зультате испытания, так как m = n (все исходы благоприятствуют событию А).

2. Р(А) = 0. Событие А - невозможное, оно никогда не появится в ре­зультате испытания, так как m = 0 (нет исходов, благоприятствующих событию А).

3. 0 < P(A) < 1.Событие А случайное, может появиться или не поя­виться в результате испытания, так как 0 < m < n (есть исходы благоприятные и неблагоприятные для события А). Вероятность иногда задают в процентах.

1.6. Элементы комбинаторики

Используются для подсчета элементарных исходов.

Правило произведения: если объект А можно выбрать k способами, а объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) m способами, то пары объектов А и В можно выбрать k·m способами.

Пример: У одного студента 7 книг, у другого - 9. Сколькими способами они могут обменяться книгами?

Решение. По правилу произведения имеем: k·m = 7*9 = 63 способами.

Теория соединений - это теория составления групп из n различных элементов по m элементов.

Виды соединений:

1. Размещения – соединения из n различных элементов по m элементов, отличающихся друг от друга либо составом, либо порядком своих элементов.

Пример: В группе из 20 человек нужно выбрать старосту, профорга, физорга. Сколькими способами это можно сделать?

2. Перестановки - все возможные соединения из n различных элементов, отличающиеся только порядком элементов.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,3,5

Р₃ = 3! = 1* 2* 3 = 6

Сочетания - соединения из n различных элементов по m элементов, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример. Группа спортсменов из 10 человек должна выставить на со­ревнования команду из 4 человек. Сколькими способами это можно сделать?