Специальные виды задач линейного программирования

1. Задача дробно-линейного программирования (ЗДЛП)

ЗДЛП возникает в том случае когда целевая функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят линейные функции от переменных задач а система ограничений является линейной и определяет выпуклую область в n-мерном пространстве

F (x)=P(x)/Q(x)=  max(min)

=<b_i (i=1….k)

>=b_i (i=k-1….l)

=b_i i=l+1….m

X_i=>0

К ЗДЛП приводит например задача планирования производства в которой критерием оптимальности является рентабельность всего производства.

Геометрическая интерпретация ЗДЛП

Пусть имеется 2 переменные в задаче - Х1 и Х2

F (x)=P1x1+p2x2/q1x1+q2x2 max

A₁₁x₁+a₁₂x₂=<b₁

…..

A_m1x₁+a_m2x2>=b_m

Изобразим систему ограничений на плоскости Х1Х2

q₁x₁f+q₂x₂f=p₁x₁+p₂x₂

x₂(q₂f-p₂)=x₁(p₁-q₁f)

x₂=(p₁-q₁f/q₂f-p₂)*x₁

x₂=kx₁

k = (p₁-q₁f/q₂f-p₂)

Так как угловой коэффициент зависит от F то целевая функция вращается вокруг начала координат.

Чтобы установить характер вращения целевой функции найдем производную d(k) по d(f)

dk/df=-q₁(q₂f-p₂)-q₂(p₁-q₁f)/(q₂f-p₂)²= q₁p₂-q₂p₁/(q₂f-p₂)

Знак производной определяется числителем.

Если q₁p₂-q₂p₁>0 то целевая функция вращается против часовой стрелки, иначе – по часовой

Из этих условий можно сформулировать алгоритм графического решения задачи дробно-линейного программирования

1. Изобразить на плоскости многоугольник решений

2. Через точку начала координат провести прямую Х₂=kX₁ (с произвольным угловым коэффициентом)

3. Определить знак углового коэффициента (установить направление вращения прямой X₂=kX₁ при увеличении целевой функции)

4. При решении задачи на максимум вращать прямую Х₂=kX₁ в установленном направлении до тех пор, пока она не достигнет крайней точки многоугольника решений

5. Определить координаты этой точки

Пример.

f (x) = 0,5Х1+0,6Х2/Х1+Х2 

0,3Х₁+0,2Х₂=<5

0,2X₁+0,3X₂=<4

0,3X₁+0,2X₂>=3

X_i>=0

X₁/16,66+X₂/25=<1

X₁/20+X₂/13,33=<1

X₁/10+X₂/15=<1

Q1p2-q2p1 = 1*2,5-1*0,5=0,1 > 0 (против часовой стрелки)

p₁ = 0,5

p₂ = 0,6

q₂ = 1

q₁ = 1

В случае когда число переменных больше 2 для нахождения её решения используется модифицированный симплекс-алгоритм. В этом случае необходимо

1. Привести систему ограничений к канонической форме

2. Записать задачу в виде симплекс-таблицы в которой две последние строки представляют собой коэффициенты числителя и знаменателя целевой функции

Для того чтобы избавиться от этой неоределенности наобходимости реализовать один шаг симплекса-алгоритма (ввести переменную х1, х2…хn)

В число базисных переменных может быть введена любая переменная (то есть в качестве разрешающего столбца можно выбрать любой столбец).

Разрешающая строка выбирается из условий минимума симплексных отношений.

Предположим что один шаг симплекс-алгоритма реализован и получено допустимое базисное решение. В этом случае полученное решение приобретет следующий вид.

После получения допустимого решения необходимо провести анализ на оптимальность.

F(x)=C/T - предположим не является максимальным. Тогда необходимо от существующего решения перейти к новому.

Переход к новому решению осуществляется путем введения в число базисных переменных переменной Х*_r вместо переменной X*_n+k.

F’(X)=C’/T'

C’=С*a^*_kr-b^*_k*p^*_r/a^*_kr

T’= T*a^*_kr-b^*_k*p^*_r/a^*_kr

F’(x)= (С*a^*_kr-b^*_k*p^*_r/a^*_kr)/(T*a^*_kr-b^*_k*p^*_r/a^*_kr)

Поскольку решается задача на максимум то переход будет оправдан в том случае если f’(x)-f(x)>0

f’(x)-f(x)=(C’/T')-(C/T)=(-b^*_k/a^*_kr)*(T*p^*_r-C*q^*_r)/(T*T’)

T*p^*_r-C*q^*_r=0 (*)

Для анализа оптимальности решения необходимо симплекс таблицу необходимо дополнить строкой содержащей определитель рассчитанный по правилам (*).

Если какой либо из этих определителей имеет отрицательный знак, то в этом случае решение не оптимально и необходимо осуществить переход к новому решению путем реализации одного шага симплекс алгоритма. Необходимо применить столбец с наибольшим по модулю отрицательным определителем, выбрать исходя из условия минимум симплексных отношений.

F (x) = 0,5x1+0,6x2/x1+x2  max

0,3X₁+0,2X₂=<5

0,2X₁+0,3X₂=<4

0,3X₁+0,2X₂>=3

X_i>=0

0 ,3X₁+0,2X₂+X₃=5

0,2X₁+0,3X₂+X₄=4

0,3X₁+0,2X₂-X₅=3

X_i>=0

Б.П	С.Ч	Х1	Х2
Х3	5	0,3	0,2
Х4	4	0,2	0,3
Х5	-3	0,3	0,2
P	0	-0,5	-0,6
Q	0	-1	-1

Б.П	С.Ч	Х3	Х2
Х1	1,67	3,33	0,67
Х4	0,67	-0,67	0,16
Х5	-8	-1	0
P	8,33	1,67	-0,26
Q	16,06	3,33	-0,33
∆	0,5	0,2	-1,6

∆1= =0,2

∆2= =-1,6

X₁=1,67

X₂=0

F(x)=0,5