Задачи целочисленного программирование.

Задачи целочисленного программирование ставится в следующем виде:

Н айти переменные х1, х2…хn для которых целевая функция от переменных, представляющая собой линейную форму от переменных принимает максимальное или минимальное значениеF (x) max при наличии системы ограничении

Геометрическая интерпретация задачи:

Алгоритм поиска целочисленных решений основан на модификации область допустимых решении, таким образом, чтобы крайняя точка многогранника решении имела целочисленные координаты.

Наиболее распространенным алгоритма поискацелочисленных решений является алгоритм Гомори. Основные шаги алгоритма:

1. Задачу целочисленного ЛП решают без учета требований условии численности. Если решение получено в целых числах, то задача решена, в противном случае переходят к следующему этапу.

2. В исходную задачу вводят дополнительное ограничение, модифицирующий исходный многогранник допустимых решений.

3. Возврат к шагу № 1.За конечное число итерации оптимальное целочисленное решение будет найдено, либо будет установить что такое решение отсутствует.

Дополнительное ограничение, отсекающее нецелочисленную область, строится по результатам решения исходной задачи без учета требований цело численности.

Предположим, что в результате решения исходной задачи ЛП окончательная симплекс-таблица имеет следующий вид:

Базисные переменные	Свободные члены	X*1 x*r x*n
Х*n+1 … X*n+k … X*n+m	B1 … Bk … bm	α 11 αr αn … αk αkrαkn … α n αkrαnn
F(x)	F	α1 αr αn

Среди всех элементов β1, βk…βm выбирается элемента у которого наибольшая дробная часть. Предположим что элемент βк. По строке соответствующей этому элементу формируется дополнительное ограничение имеющее следующий вид:

α к1 *х1* + α к1 *х2*+α кm *х* =>β k

В ведением дополнительной неотрицательной переменной указанное ограничение преобразуетсяк каноническому виду.

α к1 *х1* +… α кn *хn* - х*n+m+1 = βk

Полученное ограничение присоединяется к последней симплекс-таблице.

Базисные переменные	Свободные члены	X*1 x*r x*n
Х*n+1 … X*n+k … X*n+m … Х*n+m+1	B1 … Bk … Bm … βk	α 11 αr αn … αk αkrαkn … α n αkrαnn … -α1-αkr-αnn
F(x)	F	α1 αr αn

После расширения задача решается без учета требований цело численности.

Если в процессе решения в симплекс-таблице появляется строка с нецелым свободным членом и целыми коэффициентами в строке, то это – целочисленного решения не существует.

Пример:

Для организации нового производственного участка выделено 21 тыс. приобретаемое оборудование должно быть размещено на площади не более 37 кв. м. могут быть приобретены машины двух типов отличающихся ценой, занимаемой площадью и обладающих разной производительностью.

Машины Типа.	Цена, тыс. руб.	Площадь, м2.	Производительность шт. в смену.
А Б	3 2	6 3	7 4

Необходимо составить план приобретения оборудования , чтобы производительность участка была максимальной.

Х1 – машины типа А.Х2 – машины типа Б.

F (x) fx1+fx2 max

3x1+2x2 =<2 1

6x1+3x2 =< 37

Решаем исходную задачу без учета требований цело численности.

Базисные переменные	Свободные члены	Х5 Х6
Х1 Х2	21 37	3 2 6 3
F(x)	0	-7 -4

Базисные переменные	Свободные члены	Х4 Х2
Х3 Х1	15/6 37/6	-1/2 1/2 1 /6 1/2
F(x)	259/6	7/6 -1/2

Базисные переменные	Свободные члены	Х4Х3
Х2 Х1	5 11/3	-1 2 2/3 -1
F(x)	137/3	5/3 1

Х (11/5, 5, 0, 0).

F(x) = 137/3.

2/3*х4 + 0*х3 =>2/3 2/3х4 + 0*х3 - х5 = 2/3

Базисные переменные	Свободные члены	Х4 Х3
Х2 Х1 Х5	5 11/3 -2/3	-1 2 2/3 -1 2/3 0
F(x)	137/5	5/3 1

S1 /= 0 S2 = 11/2 =5.5 S3 = 1

Базисные переменные	Свободные члены	Х5 Х3
Х2 Х1 Х4	6 1 1	-3/2 1 -3/2 0
F(x)	44	3/2 1

Х* = (3, 6, 0, 1, 0).

Вывод:полученное решение является целочисленным и оптимальным. В соответствии с полученным решением для обеспечения максимальной производительности участка необходимо приобретать 3 машины типа А и 6 машин типа Б. поскольку переменная х3 равна 0, то выделенные денежные средства будут израсходованы полностью; х4 = 1, то площадь всего участка - 36 кв. м.

2*6 + 3*3 = 21 6*3 + 3*6 = 36