1 Этап:

f (x) = ∑c_jx_jmax,

∑a_jx_j =<b_j (i=1,…,m),  ∑a_jx_j+x_n+I = b_i (i=1,…, m),

_j => 0 _j => 0

На 2 этапе записать задачу в виде симплекс-таблицы:

Опорные переменные	Свободные члены	х1, х2….хr…хn
Хn+1 Xn+2 … Xn+k … Xn+m	b1 b2 … bk … bm	a11 а12…а1r…a1n a21а22… а2r…a2n …
f(x)	0	-с1 –с2…–сr…-cn

Процедура поиска оптимальное решения связана с направленным перебором базисных решений последовательно увеличивающих значение целевых функций.

Поиск нового базисного решения по следующем алгоритму:

1. рассматривается строка коэффициента целевой функции: если при решении задачи на максимум в этой строке имеются отрицательные элементы, то это означает, что базисное решение не оптимально и его можно улучшить. Улучшение решения заключается во введении число базисных переменных, одной из свободных переменных и пересчете симплекс-таблицы. Для это;

2. среди коэффициентов строки целевой функции выбирают наибольший по модулю отрицательный коэффициент. Столбец, соответствующий этому элементу называется разрешающим столбцом;

3. для всех элементов разрешающего столбца определяется величина симплексных отношений:S_m = b_m/a_mr.Строка соответствующая минимальному симплексному отношению называется разрешающей строкой. Разрешающий элемент показывает, что в число базисных переменных будет введена переменная х_n вместо х_n+k. При этом значение целевое функции максимально возможно увеличиться.

4. Выполняется пересчет симплекс-таблицы. Пересчет таблицы выполняет по следующим правилам:

   1. Разрешающий элемент заменяется обратной величиной:

а^*_кг=1/а_кг;

2. Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающие элементы не одинакого:

а^*_кг=а_iг/ а_кг(-1);

с^*_г=с_г/ с_кг(– 1).

3. Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающие элементы.

B^*_k = bk/akr

fkj = aki/akr

4. Все остальные элементы пересчитываются по следующим правилам:

A_ij* = (a_ija_kr-a_ika_ij)/a_kr

5. Возвращаемся к шагу № 1.

Последовательность шагов 1, 4 за конечное число операции либо позволит найти оптимальное решение, либо позволит установить, что такого решения не существует. Оптимального решения задачи не существует, если прирешение задачи на максимум в строке коэффициента целевой функции имеются отрицательные элементы, но симплексное отношение рассчитано быть не может.

При решении задачи на минимум, если в строке коэффициента в целевой функции присутствуют положительные элементы а симплексное отношение рассчитано быть не может.

Пример составления задач ЛП:

Машиностроительное приятие производит два вида продукции: 1 вид – мотоциклы, 2 вид – велосипеды. Потребности рынка таковы, что предприятие не сможет реализовать больше 30 тыс. мотоциклов и 100 тыс. велосипедов. На заводе имеется две группы цехов, производящих комплектующие для сборки. 1-ая группа цехов может производить комплектующие либо для 120 тыс. велосипедов, либо для 40 тыс. мотоциклов, либо их любую допустимую комплектацию. 2-ая группа цехов – либо для 80 тыс. велосипедов, либо для 60 тыс. мотоциклов, либо их любую допустимую комплектацию. От реализации 1 тыс. велосипедов предприятие получает прибыль в размере 2 тыс. условных денежных единиц, а при реализации 1 тыс. мотоциклов – 3 тыс.условных денежных единиц. Определить необходимое количество выпускаемых велосипедов и мотоциклов, при котором суммарная прибыль предприятия будет максимальной.

Решение:

Ведем обозначение: пусть х1 - велосипеды (тыс. шт.), х2 – мотоциклы (тыс. шт.).

f (x1,x2) = 2x1 + 3х2max­­

x 1=<100x =<100x1+x2 = 100

x2=< 30x2=<30 x2+x4 = 30

x20x1 + /10x2 =< 1x1+3x2 =<120 x1+3x2+x5= 120

1/80x1 + /60x2 =< 1 3x1 + 4x2 =<240 3x1 +4x2+x6=240

X = (0; 0; 100; 30; 120; 240)

F(x) =0

Базисные переменные	Свободные члены	Х1 Х2
Х3 Х4 Х5 Х6	100 20 120 240	0 0 1 1 3 3 4
F(x)	0	- 2 -3

S1 /= 0 S2 = b2/a22 = 30 S3 = 40 S4 = 60

Базисные переменные	Свободные члены	Х1Х4
Х3 Х 4 Х5 Х6	100 30 30 120	1 0 1 1 1-3 3 -4
F(x)	90	-2 3

Х = (0; 30; 100; 0; 30; 120).

F(x) = 90 тыс. условных единиц.

S1 = 100 S2 = 0 S3 = 30 S4 =120/3 =0

Базисные переменные	Свободные члены	Х5 Х4
Х3 Х 2 Х1 Х6	70 30 30 30	-1 3 0 1 1 -3 -3 5
F(x)	150	2 -3

Х = (30; 30; 70; 0; 0; 30).

F(x) = 150тыс. условных единиц.

S1 = 70/3 = 23,(3) S2 = 30 S3 /= 0 S4 = 30/5 = 6

Базисные переменные	Свободные члены	Х5 Х6
Х3 Х 2 Х1 Х4	52 24 48 6	-3/5 -1/5 -3/5 -3/5 -1/5
F(x)	168	1/5 3/5

Х = (48; 24; 52; 6; 0; 0).

F(x) = 48тыс. условных единиц.

S1 = 70/3 = 23,(3) S2 = 30 S3 /= 0 S4 = 30/5 = 6

Вывод:натретей итерации симплекс-алгоритма получено решение максимизирую шее прибыль от реализации продукции. Согласно этому решению, необходимо производить 48 тыс. велосипедов, 24 тыс. мотоциклов. При этом прибыль от реализации данного плана составит 168 тыс. условных денежных единиц.

Дополнительные переменные, которые вводятся в систему ограничений всегда имеют конкретный экономический смысл. Значение этих переменных на каждом этапе равны объему неиспользуемых ресурсов.

Переменные х3, х4 равные х2, х6 соответственно показывают, что рынок может потребить еще дополнительно 52тыс велосипедов и 6 тыс. мотоциклов.

Т .к. переменные х5, х 6 в оптимальном решении равны 0, то это означает что производственные мощности 1, 2-ой группы цехов по производству комплектующих используются полностью.

x1=<100

x2=< 30

x1+3x2 =<120

3 x1 + 4x2 =<240

Х1+3х2 =120

3х+4х2=240

5х2=20

Х2*=24

Х1* = 48