Р исунок 16

Переменной состояния в данной задаче на k-ом шаге является номер i пункта, принадлежащего k-му поясу. Находясь в этом пункте, мы принимаем решение о перемещении груза в один из пунктов (k+1)-го пояса, номер j которого является переменной управления на k-ом шаге.

Функция Беллмана для данной задачи имеет вид:

при k = n, ,

при k =n–1,…,1 .

Условная оптимизация.

Первый шаг. k = 5. Из рисунка 16 видно, что переменная состояния может принимать значения i₅ = 10, 11.

Таблица 83

i5	j5		F5(i5)
	12
	ci 12
1 0	17		17	1 2
11	15		15	12

Составим вспомогательную таблицу 83, используя функцию Беллмана:

Второй шаг. k = 4. Из рисунка 16 видно, что переменная состояния может принимать значения i₄ = 7, 8, 9.

Составим вспомогательную таблицу 84, учитывая, что .

Таблица 84

i4	j4			F4(i4)
	10	11
	ci 10 + F5(10)	ci 11 + F5(11)
7	5 + 17 = 22	6 + 15 = 21		21	11
8	3 + 17 = 20	–		20	1 0
9	–	8 + 15 = 23		23	11

Третий шаг. k = 3. Из рисунка 16 видно, что переменная состояния может принимать значения i₃ = 5, 6.

Таблица 85

i3	j3				F3(i3)
	7	8	9
	ci 7 + F4(7)	ci 8 + F4(8)	ci 9 + F4(9)
5	8 + 21 = 29	7 + 20 = 27	10 + 23 = 33		27	8
6	–	11 + 20 = 31	5 + 23 = 28		28	9

Составим вспомогательную таблицу 85, учитывая, что .

Таблица 86

i2	j2			F2(i2)
	5	6
	ci 5 + F3(5)	ci 6 + F3(6)
2	4 + 27 = 31	–		31	5
3	3 + 27 = 30	5 + 28 = 32		30	5
4	–	7 + 28 = 35		35	6

Четвёртый шаг. k = 2. Из рисунка 16 видно, что переменная состояния может принимать значения i₂ = 2, 3, 4.

Пятый шаг. k = 1. Из рисунка 16 видно, что переменная состояния может принимать значения i₁ = 1.

Составим вспомогательную таблицу 87, учитывая, что .

Таблица 87

i1	j1				F1(i1)
	2	3	4
	ci 2 + F2(2)	ci 3 + F2(3)	ci 4 + F2(4)
1	7 + 31 = 38	9 + 30 = 39	6 + 35 = 41		38	2

Безусловная оптимизация.

Определим компоненты оптимальной стратегии.

Первый шаг. k = 1. По таблице 87 минимальные затраты на перевозку из первого пункта в конечный составляют

F₁(1) = 38.

Этот результат достигается при движении из первого во второй пункт, то есть = 2.

Второй шаг. k = 2. По таблице 86 минимальные затраты на перевозку из второго пункта в конечный составляют

F₂(2) = 31.

Этот результат достигается при движении из второго в пятый пункт, то есть = 5.

Третий шаг. k = 3. По таблице 85 минимальные затраты на перевозку из третьего пункта в конечный составляют

F₃(5) = 27.

Этот результат достигается при движении из пятого в восьмой пункт, то есть = 8.

Четвёртый шаг. k = 4. По таблице 84 минимальные затраты на перевозку из четвёртого пункта в конечный составляют

F₄(8) = 20.

Этот результат достигается при движении из восьмого в десятый пункт, то есть = 10.

Пятый шаг. k = 5. По таблице 83 минимальные затраты на перевозку из пятого пункта в конечный составляют

F₅(10) = 17.

Этот результат достигается при движении из десятого в двенадцатый пункт, то есть = 12.

Таким образом, получен оптимальный маршрут (рис. 17) доставки груза:

(2, 5, 8, 10, 12),

с минимальными затратами в размере:

F^* = c_1,2 + c_2,5 + c_5,8 + c_8,10 + c_10,12 = 7 + 4 + 7 + 3 + 17 = 38.