Р исунок 20

Седьмой шаг. k = 1. Из рисунка 19 видно, что переменная состояния может принимать значение S_i = S_о.

Таблица 94

Si	Sj			F1(Si)
	S1	S2
	ci 2 + F2(S1)	ci 2 + F2(S2)
S о	14+73=87	16+71=87		23	S1 или S2

Составим вспомогательную таблицу 94 с учётом рисунка 20, используя функцию Беллмана .

Безусловная оптимизация.

Определим компоненты оптимальной стратегии. Из таблицы 94 следует, что в данной задаче возможны две стратегии с минимальными затратами (на рис. 21 одна отмечена сплошной, вторая пунктирной линиями):

(S₂, S₅, S₈, S₁₂, S₁₆, S₁₈, S₁₉), (S₁, S₃, S₇, S₁₁, S₁₅, S₁₈, S₁₉),

при этом минимальные затраты составляют F^* = 38.

Р исунок 21

Ответ:

Процесс обслуживания машин с минимальными суммарными издержками в размере 38 у.е. можно провести двумя способами

1) 2 машины загрузить, 2 машины разгрузить, 1 машину загрузить, 2 машины разгрузить;

2) 2 машины разгрузить, 1 машину загрузить, 1 машину разгрузить, 2 машины загрузить, 1 машину разгрузить.

Упражнение 5. Задача о прокладке пути между двумя пунктами. Прокладывается участок железнодорожного пути между пунктами А и В. Пункт В лежит к северо-востоку от А. Различные варианты трассы требуют неодинаковых затрат в связи с неоднородностью грунта, наличием лесных зон, болот, рек, через которые необходимо строить мосты и так далее (рис. 22).

Рисунок 22

Т ребуется так провести дорогу от А к В, чтобы суммарные затраты на её сооружение были минимальны.

Решение.

Предположим, что весь процесс прокладки пути можно разделить наряд элементарных последовательных шагов. Изобразим область допустимых состояний точками плоскости. По оси Ox₁ отложим число участков пути в восточном направлении (общее их количество равно n), по оси Ox₂ – число участков пути в северном направлении (общее их количество равно m).

Соединив точки с координатами (i,j) получим граф состояний процесса прокладки пути. Каждому ребру ставятся в соответствие издержки, связанные с выполнением соответствующей операции. Точка S_o определяет начало процесса, S₁₉ – конечное состояние, соответствующее прокладке всего пути.

При такой постановке задачи её решение аналогично решению, приведённому в упражнении 4 этой главы.

Упражнение 6. Задача о выборе траектории движения. Пусть самолёт, находящийся в точке S_o на высоте H_o и движущийся со скоростью v_o, должен набрать высоту H_кон и его скорость должна быть доведена до v_кон. Известен расход горючего (рис. 23) для подъёма с любой высоты H₁ на высоту H₂ при постоянной скорости v и расход горючего для увеличения скорости от v₁ до v₂ при неизменной высоте H.

Рисунок 23

Н айдите оптимальную траекторию набора высоты и скорости, при которой общий расход горючего будет минимальным.

Решение.

Предположим, что весь процесс набора высоты и скорости можно разделить наряд элементарных последовательных шагов, на любом из которых самолёт увеличивает только высоту или только скорость. Изобразим область допустимых состояний точками плоскости. По оси Ox₁ отложим число участков набора скорости (общее их количество равно n), по оси Ox₂ – число участков набора высоты (общее их количество равно m).

Соединив точки с координатами (i,j) получим граф состояний процесса набора высоты. Каждому ребру ставятся в соответствие издержки, связанные с выполнением соответствующей операции. Точка S_o определяет начало процесса, S₁₉ – конечное состояние.

При такой постановке задачи её решение аналогично решению, приведённому в упражнении 4 этой главы.

Задача 4.

4.1 – 4.10 На оптовую базу прибыло n машин с товаром для разгрузки и m машин для загрузки товара. Машины обслуживаются поочерёдно одна за другой.

Издержки от операции обслуживания обусловлены

–простоем транспорта;

–типом операции (приём или отправка).

Спланируйте процесс обслуживания машин таким образом, чтобы суммарные издержки были минимальны.

4.1		4.2
4.3		4.4
4.5		4.6
4.7		4.8
4.9		4.10

4.11 – 4.20 Прокладывается участок железнодорожного пути между пунктами А и В. Пункт В лежит к северо-востоку от А. Различные варианты трассы требуют неодинаковых затрат в связи с неоднородностью грунта, наличием лесных зон, болот, рек, через которые необходимо строить мосты и так далее.

Требуется так провести дорогу от А к В, чтобы суммарные затраты на её сооружение были минимальны.

4.11		4.12
4.13		4.14
4.15		4.16
4.17		4.18
4.19		4.20

4.21 – 4.30 Пусть самолёт, находящийся в точке S_o на высоте H_o и движущийся со скоростью v_o, должен набрать высоту H_кон и его скорость должна быть доведена до v_кон. Известен расход горючего для подъёма с любой высоты H₁ на высоту H₂ при постоянной скорости v и расход горючего для увеличения скорости от v₁ до v₂ при неизменной высоте H.

Найдите оптимальную траекторию набора высоты и скорости, при которой общий расход горючего будет минимальным.

4.21		4.22
4.23		4.24
4.25		4.26
4.27		4.28
4.29		4.30