Пз2: комплексний ряд фур'є. Властивості перетворення фур'є

2.1 Мета заняття

Придбання практичних навичок по спектральному представленню сигналів комплексним рядом Фур'є.

2.2 Контрольні запитання та завдання

1. Які сигнали складають базис розкладання періодичних сигналів у комплексний ряд Фур'є?

2. Яким вимогам має задовольняти періодичний сигнал, щоб його можна було розкласти в ряд Фур'є?

3. Записати аналітичний вираз розкладання періодичного сигналу в ряд Фур'є.

4. Як обчислюються коефіцієнти розкладання періодичного сигналу в ряд Фур'є?

5. Поняття амплітудного і фазового спектра періодичного сигналу при розкладанні його в комплексний ряд Фур'є.

6. Перелічите особливості спектральних діаграм при розкладанні періодичного сигналу в комплексний ряд Фур'є.

7. Поясните властивість лінійності перетворення Фур'є.

8. Розрахунок комплексного спектра сигналу, зміщеного уздовж осі часу.

9. Розрахунок комплексного спектра сигналу, помноженого на функцію косинуса.

10. Розрахунок комплексного спектра похідної від функції сигналу.

11. Розрахунок комплексного спектра невизначеного інтеграла від функції сигналу.

12. Розрахунок комплексного спектра добутку двох сигналів.

13. Поясните властивість симетрії часу і частоти в перетворенні Фур'є.

14. Які особливості комплексних спектрів гладких і розривних сигналів?

2.3 Приклади розв'язання задач

Задача 1. Вивести вираження для обчислення комплексних спектральних коефіцієнтів періодичної послідовності експонентних відеоімпульсів (рис. 2.1), якщо  В,  мс,  мс і .

Рисунок 2.1

Розв'язок. Математична модель даного сигналу виглядає в такий спосіб:

Обчислимо постійну складову:

.

Можна завжди знайти таке дійсне позитивне число , що:

. (2.1)

Тоді з урахуванням (2.1):

.

Обчислимо комплексні спектральні коефіцієнти:

Тоді з урахуванням (2.1):

.

Таким чином, коефіцієнти комплексного спектра періодичної послідовності експонентних відеоімпульсів обчислюються відповідно до виразів:

; .

Для того щоб побудувати спектральну діаграму сигналу, необхідно записати вираз для модуля й аргументу спектральних коефіцієнтів .

З огляду на те, що , одержуємо вираз для модуля й аргументу:

;

.

Обчислимо величину коефіцієнта шпаруватості і коефіцієнта :

, .

Знаючи значення , , , можна обчислити величини модулів і аргументів спектральних складових сигналу з будь-яким номером (див. рис. 2.2 а, б).

Рисунок 2.2 а

Рисунок 2.2 б

Доповнення

Якщо покласти ( ), то експонентні імпульси стануть прямокутними, а формули для спектральних коефіцієнтів перетворяться до вигляду:

;

. (2.2)

Спектральні діаграми даної послідовності прямокутних відеоімпульсів зображені на рис. 2.3

Рисунок 2.3

Задача 2. Вивести вираз для обчислення комплексних спектральних коефіцієнтів сигналу, що представляє собою періодичну послідовність відеоімпульсів (рис. 2.4), і побудувати спектральні діаграми, якщо  В,  мс,  мс,  мс,  мс.

Рисунок 2.4

Розв'язок. Аналізуючи часову діаграму сигналу (рис. 2.4), можна укласти, що пропонований сигнал має складну структуру і може бути представлений у вигляді лінійної комбінації сигналів більш простих. Способів декомпозиції розглянутого сигналу можна запропонувати декілька, однак, варто вибрати той з них, що сполучений з меншими обчислювальними труднощами.

Зручно розглянутий сигнал представити у вигляді суми наступних трьох сигналів: послідовності позитивних прямокутних відеоімпульсів, послідовності негативних прямокутних відеоімпульсів і позитивної постійної складової (рис. 2.5).

Рисунок 2.5

Розкладання аналізованого сигналу на три більш простих проводиться відповідно до виразу

.

Завдяки властивості лінійності перетворення Фур'є можна розраховувати спектр сигналу як суму спектрів сигналів , , :

.

Сигнали і зв'язані співвідношенням

.

Властивість лінійності перетворення Фур'є і властивість спектрів запізнілих у часі сигналів дозволяють установити зв'язок між спектрами сигналів і

.

Запишемо вираз для спектра сигналу

. (2.3)

Постійна складова сигналу обчислюється за формулою

.

Як бачимо, постійна складова досліджуваного сигналу складається тільки з постійної складової третього простого сигналу.

Функціональна залежність сигналу від часу має вигляд

.

Це означає, що в спектрі цього сигналу немає інших спектральних складових крім нульової гармоніки. Отже,

.

Тоді вираз (2.3) спроститься, і всі гармоніки досліджуваного сигналу з номерами, відмінними від нуля можна обчислювати за формулою

. (2.4)

З виразу (2.4) випливає, що всі гармоніки з парними номерами ( ) дорівнюють нулю, тому що , а всі гармоніки з непарними номерами ( ) можна обчислювати як

.

Спектр парної періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів обчислюється за формулою (2.2)

.

Якщо даний сигнал затриманий у часі на інтервал , то спектр сигналу можна обчислити як

.

Остаточний вираз для коефіцієнтів непарних гармонік сигналу можна обчислювати відповідно до виразу

.

Амплітудний і фазовий спектри (рис. 2.6) обчислюються за формулами:

, .

Рисунок 2.6

2.4 Варіанти задач

2.4.1 Розрахувати вираз для комплексних спектрів і побудувати спектральні діаграми сигналів із задачі 1.4.1.

2.4.2 Одержати вираз для комплексних спектрів і побудувати спектральні діаграми експонентних періодичних сигналів, зображених на рис. 2.7 – 2.16.

Рисунок 2.7 Рисунок 2.8

Рисунок 2.9

Рисунок 2.10

Рисунок 2.11

Рисунок 2.12

Рисунок 2.13

Рисунок 2.14

Рисунок 2.15

Рисунок 2.16

2.4.3 Одержати вираз для комплексних спектрів і побудувати спектральні діаграми періодичних сигналів, що лінійно змінюються, зображених на рис. 1.5 – 1.10.

2.4.4 Одержати вираз для комплексних спектрів і побудувати спектральні діаграми періодичних послідовностей прямокутних відеоімпульсів, зображених на рис. 1.11 – 1.14.

2.4.5 Одержати вираз для комплексних спектрів і побудувати спектральні діаграми періодичних послідовностей -імпульсів, зображених на рис. 2.17 – 2.19.

Рисунок 2.17 Рисунок 2.18

Рисунок 2.19