Пз1: спектральне представлення періодичних сигналів у базисі тригонометричних функцій

1.1 Мета заняття

Набуття практичних навичок по спектральному представленню сигналів тригононометричними рядами Фур'є.

1.2 Контрольні запитання та завдання

1. Що таке електричний сигнал? Способи класифікації сигналів.

2. Перелічите основні характеристики сигналів.

3. Дайте визначення поняттю функціонального базису простору сигналів. Узагальнений ряд Фур'є.

4. Синус-косинусна (sin-cos) форма ряду Фур'є. Приведіть формули для розрахунку коефіцієнтів розкладання.

5. Косинусна (cos) форма ряду Фур'є. Формули для розрахунку коефіцієнтів.

6. Дайте визначення поняттю спектральної діаграми сигналу.

7. Перелічите властивості спектрів періодичних сигналів.

8. Які властивості спектрів сигналів, математична модель яких представлена парною, непарною чи дзеркальною функцією?

1.3 Приклади розв'язання задач

Задача 1. Розрахувати спектр сигналу (сos – форма ряду Фур'є). Побудувати часову і спектральну діаграми сигналу.

Розв'язок. Заданий сигнал є синусоїдальним коливанням з круговою частотою ₁=20 рад/с, амплітудою 6 В та початковою фазою /6 рад, тобто «початок» синусоїди буде у мить с. Період сигналу с. Часова діаграма сигналу матиме вигляд рис. 1.1.

Рисунок 1.1

Оскільки сигнал представлений синусоїдальною функцією, то можна за допомогою тригонометричних формул перетворити заданий сигнал до вигляду cos форми ряду Фур'є, тобто до вигляду

. (1.1)

. (1.2)

Порівнюючи формулу ряду Фур'є (1.1) і аналітичне представлення сигналу (1.2), бачимо, що постійна складова сигналу , кількість доданків ряду – одне, тобто в спектрі сигналу одна гармонійна складова, її амплітуда А₁=6 В, початкова фаза радіан.

Як було зазначено, постійна складова сигналу дорівнює 0. Цей результат можна було одержати, аналізуючи рис. 1.1: площа під кривою сигналу на інтервалі Т/2 до Т/2 дорівнює 0 (заштриховані області "+" і "" рівні).

На спектральній діаграмі такий сигнал буде представлений однією гармонікою на частоті ₁.

Рисунок 1.2

Задача 2. Побудувати часову діаграму, розрахувати і побудувати амплітудний і фазовий спектри (перші 10 значень) сигналу, заданого виразом

де А = 1 В – амплітуда імпульсу; _і = 1 мс – тривалість імпульсу; Т=4 мс – період сигналу; n – послідовність цілих чисел у діапазоні від  до +.

Розв'язок. Заданий сигнал є періодичною послідовністю позитивних відеоімпульсів. Початок координат (t = 0) збігається з переднім фронтом одного з імпульсів. Шпаруватість послідовності імпульсів . Часова діаграма сигналу зображена на рис. 1.3.

Рисунок 1.3

Для розрахунку cos форми ряду Фур'є (1.1) спочатку розрахуємо коефіцієнти sin-cos форми ряду Фур'є, що має такий вигляд

,

де ,  коефіцієнти ряду Фур'є, що розраховуються за формулами:

, .

Постійна складова сигналу розраховується за формулою

.

Основна частота періодичного коливання (частота першої гармоніки)

.

Розрахуємо постійну складову сигналу.

.

Обчислимо коефіцієнти a_k і b_k.

;

.

Знаходимо коефіцієнти косинусного ряду Фур'є (1.1):

; ; .

.

.

Коефіцієнти А_k повинні бути позитивними, тому

, і (1.3)

Підставляючи задані значення А, _і і Т у формули (1.3) для різних k, одержимо шукані амплітуди і початкові фази гармонійних складових ряду Фур'є (1.1).

Нульова гармоніка

В.

Амплітуда першої гармоніки

В.

Початкова фаза першої гармоніки

рад., оскільки .

Аналогічно знаходяться амплітуди і фази для інших k.

Амплітудний і фазовий спектри сигналу зображені на рис. 1.4.

Рисунок 1.4

1.4 Варіанти задач

1.4.1 Розрахувати спектральні коефіцієнти, побудувати спектральні і часові діаграми періодичних сигналів, що задані виразами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

1.4.2 Зобразити амплітудний спектр послідовності прямокутних імпульсів з такими параметрами:

а) А = 1 В, _і = 1 мс, Т = 2 мс;

б) А = 1 В, _і = 0,5 мс, Т = 2 мс;

в) А = 2 В, _і = 2 мс, Т = 4 мс;

г) А = 2 В, _і = 0,5 мс, Т = 4 мс.

1.4.3 Описати аналітично сигнали рис. 1.5 – 1.14.

1.4.4 Розрахувати постійну складову сигналів рис. 1.5 – 1.14.

1.4.5* Розрахувати амплітуду першої гармоніки сигналів рис. 1.5 – 1.14.

Рисунок 1.5

Рисунок 1.6

Рисунок 1.7

Рисунок 1.8

Рисунок 1.9

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

Рисунок 1.12

Рисунок 1.13

Рисунок 1.14

1.4.6* Побудувати часову діаграму, одержати вираз для розрахунку коефіцієнтів амплітудного і фазового спектрів періодичного сигналу, заданого виразом