Приклади

Приклад 1. Обслуговування автомобілів.

Іванов, механік автосервісу, може замінити масло в середньому в трьох автомобілях протягом години (тобто в середньому на одному автомобілі за 20 хв). Час обслуговування підпорядковується експоненціальному закону. Клієнти, які потребують цієї послуги, приїжджають в середньому по два на годину, відповідно до пуассоновского розподілу. Клієнти обслуговуються в порядку прибуття, і їх число не обмежено. Розрахуйте основні характеристики системи обслуговування.

Розв’язок. На основі вихідних даних отримуємо:

λ = 2 машини на годину - кількість машин, що надходять протягом години;

μ = 3 машини на годину - кількість машин, що обслуговуються протягом години;

машини - середня кількість машин, що знаходяться в системі;

- середній час очікування в системі;

машини - середня кількість машин, що очікують у черзі;

- середній час очікування в черзі;

- частка часу, протягом якого механік зайнятий;

- ймовірність того, що в системі немає жодного клієнта.

Ймовірність того, що в системі знаходиться більше ніж k машин:

k
0	0,667
1	0,444
2	0,296
3	0,198
4	0,132
5	0,088
6	0,058
7	0,039

Примітка. При k = 0 значення ймовірності дорівнює 1 - ;

при k = 1 існує 44,4% шансу на те, що в системі знаходиться більше однієї машини, і т.д.

Приклад 2. Складання витрат.

Після того як ми отримали основні характеристики системи обслуговування, часто буває корисним провести її економічний аналіз. Як уже зазначалося, завданням менеджера є складання зростаючих витрат на поліпшення обслуговування і зниження витрат, пов'язаних з очікуванням. Розглянемо цей випадок, доповнивши умови прикладу 1.

Власник автосервісу встановив, що витрати, пов'язані з очікуванням, виражаються в зниженні попиту внаслідок незадоволеності клієнтів і рівні 100 руб. на годину очікування в черзі. Визначте загальні витрати функціонування автосервісу.

Розв’язок. Так як в середньому кожна машина чекає в черзі 2 / 3 години ( ) і в день обслуговується приблизно 16 машин (λ*8 = 2 машини на годину протягом 8-годинного робочого дня), загальна кількість годин, які проводять у черзі всі клієнти, так само

Отже, витрати, пов'язані з очікуванням, складають

Інша важлива складова витрат власника автосервісу - зарплата механіка Іванова. Припустимо, що він отримує 70 руб. в годину, або 560 руб. в день. Отже, загальні витрати складають

1066 + 560 = 1626 руб. на день.

Приклад 3. Утилізація відходів.

Компанія «Утиль» збирає і утилізує в Митіщах алюмінієві відходи і скляні пляшки. Водії автомобілів, що доставляють сировину для вторинної переробки, чекають в черзі на розвантаження в середньому 15 хв. Час простою водія та автомобіля оцінюється в 6 тис. руб. на годину.

Новий автоматичний компактор може обслуговувати контейнеровози з постійним темпом 12 машин на годину (5 хв на одну машину). Час прибуття контейнеровозів підпорядковується пуассонівському закону з параметром λ = 8 автомобілів на годину. Якщо новий компактор буде використовуватися, то амортизаційні витрати складуть 0,3 тис. руб. на один контейнеровоз. Чи слід використовувати компактор?

Розв’язок. Витрати на простій одного автомобіля в черзі за одну їздку в системі без компактора складають

В системі з компактором час очікування в черзі при λ = 8 автомобілів на годину і μ = 12 автомобілів на годину дорівнюватиме

Витрати на простій автомобіля в черзі в цьому випадку складуть

Скорочення часу простою привело до скорочення витрат на простій одного автомобіля за одну їздку на суму в 1,5 - 0,5 = 1 тис. руб.

За умови, що витрати по експлуатації компактора на один контейнеровоз становлять 0,3 тис. руб., Загальні витрати складуть 0,5 + 0,3 = 0,8 тис. руб.

Система з компакторів дає економію в 1,5 - 0,8 = 0,7 тис. руб. Таким чином, компактор слід використовувати.