13.6. Теорія масового обслуговування

На практиці при вивченні операцій часто доводиться мати справу з системами, призначеними для багаторазового використання при розв'язанні однотипних задач. Процеси, які виникають при цьому отримали назву процесів обслуговування, а системи – систем масового обслуговування. Прикладами таких систем є ремонтні майстерні, телефонні системи, обчислювальні комплекси, магазини тощо.

Кожна система масового обслуговування складається з певного числа обслуговуючих одиниць, зокрема приладів, пристроїв, пунктів, станцій, які називають каналами обслуговування. Каналами можуть виступати продавці, перукарі, обчислювальні машини, точки продажу, лінії зв'язку та ін. За кількістю каналів системи масового обслуговування поділяються на одноканальні (один канал) та багатоканальні (декілька каналів).

Заявки надходять в систему масового обслуговування зазвичай нерегулярно, а випадково, утворюючи так званий випадковий потік заявок (вимог). Обслуговування заявок триває також якийсь випадковий час. Випадковий потік заявок і часу обслуговування призводить до того, що система масового обслуговування виявляється завантаженою нерівномірно: в якісь періоди часу накопичується дуже велика кількість заявок, а в інші періоди система працює з неповним завантаженням або простоює. Для того, щоб максимально оптимізувати, регулювати ці процеси шляхом прийняття зважених та обґрунтованих управлінських рішень використовується теорія масового обслуговування.

Теорія масового обслуговування – теорія, яка вивчає статистичні закономірності в масових операціях, що складаються з великого числа однорідних елементарних операцій. До них, зокрема належать: складання однотипних деталей на конвеєрі, видача інструментів, ремонт верстатів, робота телефонної станції, обслуговування покупців у магазині, в білетних касах, клієнтів у перукарнях, технічне обслуговування машин та обладнання тощо.

Синонімом теорії обслуговування є теорія черг. У системах масового обслуговування, в яких заявки на елементарні операції надходять у випадкові моменти часу або обслуговуються протягом випадкових проміжків часу, поява черг – неминуче зло. За великої кількості каналів обслуговування (ремонтних бригад, продавців, телефоністок і т. п.) система зазнає збитків через можливі тривалі простої каналів. За малої кількості каналів обслуговування, збитки системи спричиняють черги, які накопичуються.

Завдання теорії масового обслуговування – вивчити статистичні закономірності вхідного потоку заявок на елементарні операції та тривалість обслуговування заявок, а також дати оцінку якості систем обслуговування (з'ясувати пропускну здатність) за різних правил формування черг. Черги можуть бути організовані по різному – з обмеженою та необмеженою довжиною черги, з обмеженим часом очікування та ін.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, які пов'язують задані умови роботи систем масового обслуговування (число каналів, їх продуктивність, характер потоку, заявок тощо) з показниками ефективності цих систем, що описують їх здатність справлятися з потоком заявок.

Під потоком подій розуміють послідовність однорідних подій, які настають одна за другою в якісь випадкові моменти часу (наприклад, потік викликів на телефонній станції, потік відмовлень БВМ, потік покупців тощо).

Потік характеризується інтенсивністю (λ) – частотою появи події або середнім числом подій, які надходять в систему масового обслуговування за одиницю часу.

В ролі показників ефективності систем масового обслуговування можуть використовуватися такі:

– середнє (тут і далі середнє як математичне очікування відповідних випадкових величин) число заявок, які обслуговуються за одиницю часу;

– середня кількість заявок у черзі;

– середній час чекання на обслуговування;

– ймовірність відмови в обслуговуванні без чекання;

– ймовірність того, що число заявок в черзі перевищить певне значення тощо.

Системи масового обслуговування поділяються на два основні типи (класи): з очікуванням (чергою) та з відмовленнями. У системі масового обслуговування з очікуванням заявка, яка надійшла в момент зайнятості каналів, не відправляється, а стає в чергу на обслуговування.

В системах з відмовленням заявка, яка надходить в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмовлення та покидає систему, не приймаючи участі в подальшому процесі обслуговування (наприклад, заявка на телефонну розмову в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмовлення і залишає систему не обслуженою).

У ролі показників ефективності системи масового обслуговування з відмовленнями застосовуються такі:

1. Абсолютна пропускна здатність (А) – показник, який показує середню кількість заявок, що обслуговуються за одиницю часу. Він розраховується за формулою

де λ – інтенсивність потоку заявок;

μ – інтенсивність потоку обслуговування.

При цьому інтенсивність потоку обслуговування є оберненою величиною до середнього часу обслуговування ( ):

.

2. Відносна пропускна здатність (Q) – показник, що характеризує середню частку заявок, яка надійшла та обслуговується системою. Обчислюється за формулою:

3. Ймовірність відмови ( ) – величина, яка характеризує ймовірність того, що заявка залишить систему масового обслуговування не обслуженою. Показує частку заявок, яким буде відмовлено в наданні відповідної послуги.

4. Середнє число зайнятих каналів ( ) (для багатоканальної системи). Цей показник розраховується у такий спосіб:

Визначається також інтенсивність навантаження каналу – р (або приведена інтенсивність потоку заявок) – це показник, який виражає середню кількість заявок, яка надходить за середній час обслуговування однієї заявки. Він розраховується за формулою

В багатоканальних системах масового обслуговування з граничними ймовірностями використовують формули для граничних ймовірностей стану, які отримали назву формул Ерланга на честь А.К. Ерланга (кінець XIX – початок XX ст.) – датського інженера, математика, засновника теорії масового обслуговування.

Ймовірність відмови системи масового обслуговування – це гранична ймовірність того, що всі п каналів системи будуть зайняті, тобто:

Відносна пропускна здатність – ймовірність того, що заявка буде обслужена визначається:

Абсолютна пропускна здатність розраховується:

Для класифікації систем масового обслуговування важливе значення має дисципліна обслуговування, яка визначає порядок вибору заявок з числа тих, що надійшли, та порядок розподілу їх між вільними каналами. За цією ознакою обслуговування заявки може бути організовано за принципами черговості надходження: в порядку надходження (з початку) або навпаки обслуговуються ті, які надійшли в кінці (з кінця), з пріоритетом обслуговування (в першу чергу обслуговуються найважливіші заявки).

Приклад. Заявки на телефонні переговори на переговорному пункті надходять з інтенсивністю λ, яка дорівнює 80 заявок на годину, а середня тривалість розмови по телефону = 3 хв.

1. Визначити показники ефективності роботи системи масового обслуговування (переговорного пункту) за наявності одного телефонного номера.

2. Визначити оптимальну кількість телефонних номерів на переговорному пункті, якщо умовою оптимальності вважати задоволення в середньому з кожних 100 заявок не менше 80 заявок на переговори.

Розв'язання

1. Розрахуємо інтенсивність потоку обслуговування:

2. Визначимо відносну пропускну здатність системи масового обслуговування:

Це означає, що в середньому тільки 20% заявок, які надходять, будуть задоволені й за ними будуть надані послуги, тобто здійсняться переговори по телефону.

3. Ймовірність відмови в обслуговуванні ( ) становитиме:

Отже, в середньому 80% заявок, які надійдуть на переговори, отримають відмову в обслуговуванні.

4. Абсолютна пропускна здатність системи масового обслуговування – переговорного пункту дорівнюватиме

Таким чином, в середньому за годину будуть обслужені 16 заявок на переговори.

З цього можна зробити висновок, що за наявності тільки одного телефонного номера переговорний пункт буде погано справлятися з потоком заявок.

Для виконання другого завдання задачі – визначення оптимального числа номерів на телефонній станції, слід перш за все проаналізувати інтенсивність навантаження каналу.

5. Обчислимо інтенсивність навантаження каналу:

Тобто, за час середньої за тривалістю телефонної розмови = 3 хв надходить в середньому 4 заявки на переговори.

6. Для одержання характеристик системи (переговорного пункту) та вибору оптимального варіанта кількості номерів слід поступово збільшувати число каналів (телефонних номерів) n = 2,3,4, ..., перетворюючи таким чином наявну систему масового обслуговування з одноканальної в багатоканальну. Тоді відносна пропускна здатність становитиме:

Абсолютна пропускна здатність дорівнюватиме:

Аналогічно розрахуємо основні характеристики системи масового обслуговування для 3, 4, 5, 6 каналів обслуговування (номерів телефонів) та зведемо їх у табл. 13.5.

Таблиця 13.5. Основні характеристики обслуговування заявок на переговори переговорним пунктом залежно від кількості номерів

Характеристика	Кількість каналів (номерів)
	1	2	3	4
Відносна пропускна здатність (Q)	0,20	0,38	0,80	0,95
Абсолютна пропускна здатність (А)	16,0	30,4	64,0	76,0

Отже, за умовами оптимальності =0,8, тому на переговорному пункті необхідно встановити 3 телефонні номери (в цьому випадку Q = 0,80). Це означає, що за годину будуть обслуговуватися в середньому 64 заявки (А = 64), а середня кількість зайнятих номерів (каналів) дорівнюватиме

Не дивлячись на велике значення теорії ігор для прийняття управлінських рішень, вона не має універсального характеру. Одним із основних обмежень її застосування є те, що в цій грі наявний єдиний показник виграшу як характеристика ефективності. Проте на практиці при вирішенні більшості економічних завдань зустрічаються декілька показників ефективності. Крім того, в економіці здебільшого виникають такі ситуації, коли інтереси партнерів не мають антагоністичного характеру. Ці особливості слід враховувати аналітику при виборі методів дослідження тих чи інших економічних явищ і процесів.

Моделі систем масового обслуговування

Цілі

Основи знань про черги, які іноді називають теорією черг або теорією масового обслуговування, становлять важливу частину теорії управління виробництвом. Черги - звичне явище. Вони можуть носити форму очікування ремонту автомобіля в центрі автосервісу або очікування студентами консультації у професора. У таблиці перераховані деякі приклади виникнення черг в системах масового обслуговування:

Ситуація	Очікують у черзі	Процес обслуговування
Супермаркет	Покупці	Прийом касиром оплату за покупки
Приймальня лікаря	Пацієнти	Прийом лікарем та медсестрою
Комп’ютер	Комп’ютерні програми	Виконання програми процесором
Телефонна компанія	Абоненти	Виконання заказів на міжнародні переговори

Моделі черг (як і лінійне програмування, моделі управління запасами, методи мережевого аналізу проектів) використовуються і в сфері управління матеріальним виробництвом, і в сфері обслуговування. Аналіз черг в термінах довжини черги, середнього часу очікування, середнього часу обслуговування та інших факторів, допомагає нам краще зрозуміти принципи організації системи обслуговування. Очікування пацієнта в приймальні лікаря і очікування лагодження зламаної дрилі в ремонтній майстерні мають багато спільного з точки зору управління процесом обслуговування. Обидва процеси використовують людські ресурси та ресурси устаткування для задоволення потреб клієнтів.

Професійний менеджер, приймаючи рішення про вдосконалення системи масового обслуговування, оцінює зміни, що виникають у витратах на функціонування системи і у витратах, пов'язаних з очікуванням клієнтів. Можна найняти велику кількість співробітників, які будуть швидко обслуговувати клієнтів. Так, адміністратор супермаркету може зменшити черги в каси, збільшуючи в години пік кількість продавців та касирів. Для роботи в касах банків або аеропортів в години пік можуть бути залучені додаткові співробітники. Однак зниження часу очікування зазвичай пов'язане з витратами на створення і оснащення робочих місць, з оплатою праці додаткового персоналу. Ці витрати можуть бути дуже значні.

Можна заощадити на трудовитратах. Але тоді клієнт може не дочекатися обслуговування або втратити бажання повернутися ще раз. В останньому випадку, система масового обслуговування буде нести втрати, які можна назвати витратами очікування. У деяких системах обслуговування, наприклад в швидкій допомозі, витрати, пов'язані з тривалим очікуванням, можуть виявитися надзвичайно високими. Основний економічний принцип вдосконалення систем масового обслуговування полягає в оцінці загальних очікуваних витрат, що включають витрати на обслуговування і втрати, які несе система в результаті очікування клієнта.

Після того як ви виконаєте завдання, запропоновані в цьому розділі, ви будете вміти визначати і використовувати для економічного аналізу такі поняття:

• система масового обслуговування;

• заявка;

• черга;

• темп надходження заявок;

• темп обслуговування;

• середній час, який заявка проводить в черзі;

• середня довжина черги;

• середній час, який заявка проводить в системі обслуговування;

• середня кількість клієнтів у системі обслуговування;

• витрати функціонування системи обслуговування;

• витрати очікування.

Моделі

Класифікаційні ознаки систем масового обслуговування.

В системах масового обслуговування розрізняють три основних етапи, які проходить кожна заявка:

1) поява заявки на вході в систему;

2) проходження черги;

3) процес обслуговування, після якого заявка залишає систему.

На кожному етапі використовуються певні характеристики, які слід обговорити перш, ніж будувати математичні моделі.

Характеристики входу:

1) число заявок на вході (розмір популяції);

2) режим надходження заявок в систему обслуговування;

3) поведінка клієнтів.

Число заявок на вході. Число потенційно можливих заявок (розмір популяції) може вважатися або нескінченним (необмежена популяція), або кінцевим (обмежена популяція). Якщо число заявок, що надійшли на вхід системи з моменту початку процесу обслуговування до будь-якого заданого моменту часу, є лише малою частиною потенційно можливого числа клієнтів, популяція на вході розглядається як необмежена. Приклади необмежених популяцій: автомобілі, що проходять через пропускні пункти на швидкісних дорогах, покупці в супермаркеті і т.п. У більшості моделей черг на вході розглядаються саме необмежені популяції.

Якщо кількість заявок, які можуть надійти в систему, можна порівняти з числом заявок, що вже знаходяться в системі масового обслуговування, популяція вважається обмеженою. Приклад обмеженою популяції: комп'ютери, що належать конкретній організації і надходять на обслуговування в ремонтну майстерню.

Режим надходження заявок в систему обслуговування. Заявки можуть надходити в систему обслуговування відповідно до певного графіка (наприклад, один пацієнт на прийом до стоматолога кожні 15 хв, один автомобіль на конвеєрі кожні 20 хв) або випадковим чином. Появи клієнтів вважаються випадковими, якщо вони незалежні один від одного і точно непередбачувані. Часто в задачах масового обслуговування число появ в одиницю часу може бути оцінено за допомогою пуассонівського розподілу ймовірностей. При заданому темпі надходження (наприклад, два клієнта в годину або чотири вантажівки в хвилину) дискретний розподіл Пуассона описується наступною формулою:

де р (х) - ймовірність надходження х заявок в одиницю часу;

х - число заявок в одиницю часу;

λ - середнє число заявок в одиницю часу (темп надходження заявок);

е = 2,7182 - основа натурального логарифма.

Відповідні значення ймовірностей р (х) неважко визначити за допомогою таблиці пуассонівського розподілу. Якщо, наприклад, середній темп надходження заявок - два клієнти на годину, то ймовірність того, що протягом години в систему не надійде жодної заявки, дорівнює 0,135, вірогідність появи однієї заявки - близько 0,27, двох - також близько 0,27 , три заявки можуть з'явитися з імовірністю 0,18, чотири - з імовірністю близько 0,09 і т.д. Ймовірність того, що за годину в систему надійдуть 9 заявок або більше, близька нулю.

На практиці ймовірності появи заявок, зрозуміло, не завжди підкоряються пуассоновском розподілу (вони можуть мати якийсь інший розподіл). Тому потрібно проводити попередні дослідження для того, щоб перевірити, що пуассонівської розподіл може хорошою бути гаорною апроксимацією.

Поведінка клієнтів. Більшість моделей черг ґрунтуються на припущенні, що поведінка клієнтів є стандартною, тобто кожна заявка, що надходить в систему, встає в чергу, чекає обслуговування і не покидає систему до тих пір, поки її не обслужать. Іншими словами, клієнт (людина або машина), що встав в чергу, чекає до тих пір, доки він не буде обслужений, не покидає чергу і не переходить з однієї черги до іншої.

Життя значно складніше. На практиці клієнти можуть залишити чергу тому, що вона виявилася занадто довгою. Може виникнути й інша ситуація: клієнти чекають своєї черги, але з деяких причин не можуть бути обслуженими. Ці випадки також є предметом теорії масового обслуговування, однак тут не розглядаються.

Характеристики черги:

1) довжина;

2) правило обслуговування.

Довжина черги. Довжина може бути обмежена або не обмежена. Довжина черги (черга) обмежена, якщо вона з якихось причин (наприклад, через фізичні обмеження) не може збільшуватися до нескінченності. Якщо черга досягає свого максимального розміру, то наступна заявка в систему не допускається і відбувається відмова. Довжина черги не обмежена, якщо в черзі може перебувати будь-яке число заявок. Наприклад, черга автомобілів на бензозаправці.

Правило обслуговування. Більшість реальних систем використовує правило «першим прийшов - першим пішов» (FIFO - first in, first out). В деяких випадках, наприклад в приймальному покої лікарні, на додаток до цього правилу можуть встановлюватися різні пріоритети. Пацієнт з інфарктом в критичному стані, очевидно, буде мати пріоритет в обслуговуванні в порівнянні з пацієнтом, що зламав палець. Порядок запуску комп'ютерних програм - інший приклад встановлення пріоритетів в обслуговуванні.

Характеристики процесу обслуговування:

1) конфігурація системи обслуговування (число каналів і число фаз обслуговування);

2) режим обслуговування.

Конфігурація системи обслуговування. Системи обслуговування розрізняються за числом каналів обслуговування. Зазвичай кількість каналів можна визначити як число клієнтів, обслуговування яких може бути розпочато одночасно, наприклад: число майстрів в перукарні. Приклади одноканальної системи обслуговування: банк, в якому відкрито єдине віконце для обслуговування клієнтів, чи ресторан, який обслуговує клієнтів в автомобілях. Якщо ж у банку відкрито кілька віконець для обслуговування, клієнт чекає в загальній черзі і підходить до першого звільнився вікна, то ми маємо справу з багатоканальною однофазовою системою обслуговування. Більшість банків, також, як поштові відділення та авіакаси, є багатоканальними системами обслуговування.

Інша характеристика - число фаз (або послідовних етапів) обслуговування одного клієнта. Однофазовими є такі системи, в яких клієнт обслуговується в одному пункті (на одному робочому місці), потім покидає систему. Ресторан для обслуговування автомобілів, в якому офіціант отримує гроші і приносить замовлення в автомобіль, є прикладом однофазовий системи. Якщо ж в ресторані потрібно зробити замовлення в одному місці, оплатити його в іншому і отримати їжу в третьому, то ми маємо справу з багатофазовою (три фази) системою обслуговування.

На рис. 1 наведені системи обслуговування різної конфігурації.

а) б)

Одноканальна однофазова система Одноканальна двофазова система

в) г)

Двоканальна однофазова система Двоканальна двофазова система

• заявка; - пункт обслуговування.

Рис. 1

Режим обслуговування. Як і режим надходження заявок, режим обслуговування може характеризуватися або постійним, або випадковим часом обслуговування. При постійному часі на обслуговування будь-якого клієнта витрачається однаковий час. Така ситуація може спостерігатися на автоматичній мийці автомобілів. Однак частіше зустрічаються ситуації, коли час обслуговування має випадковий розподіл. У багатьох випадках можна припустити, що час обслуговування підпорядковується експоненціальному розподілу з функцією розподілу

F ( - ймовірність того, що фактичний час t обслуговування заявки не перевищить заданої величини τ;

μ - середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

е = 2,7182 - основа натурального логарифма.

Параметри моделей черг. При аналізі систем масового обслуговування використовуються технічні та економічні характеристики.

Найбільш часто використовуються наступні технічні характеристики:

1) середній час, який клієнт проводить в черзі;

2) середня довжина черги;

3) середній час, який клієнт проводить у системі обслуговування (час очікування плюс час обслуговування);

4) середнє число клієнтів в системі обслуговування;

5) ймовірність того, що система обслуговування виявиться незайнятою;

6) імовірність певного числа клієнтів в системі.

Серед економічних характеристик найбільший інтерес представляють наступні:

1) витрати очікування в черзі;

2) витрати очікування в системі;

3) витрати обслуговування.

Моделі систем масового обслуговування. Залежно від поєднання наведених вище характеристик, можуть розглядатися різні моделі систем масового обслуговування.

Тут ми ознайомимося з кількома найбільш відомими моделями. Всі вони мають наступні загальні характеристики:

а) пуассонівської розподіл ймовірностей надходження заявок;

б) стандартне поведінку клієнтів;

в) правило обслуговування FIFO (першим прийшов - першим обслужений);

г) єдина фаза обслуговування.

I. Модель А - модель одноканальної системи масового обслуговування М/М/1 з пуассонівским вхідним потоком заявок і експоненціальним часом обслуговування.

Найчастіше зустрічаються задачі масового обслуговування з єдиним каналом. У цьому випадку клієнти формують одну чергу до єдиного пункту обслуговування. Припустимо, що для систем цього типу виконуються наступні умови:

1. Заявки обслуговуються за принципом «першим прийшов - першим обслужений» (FIFO), причому кожен клієнт чекає своєї черги до кінця незалежно від довжини черги.

2. Появи заявок є незалежними подіями, проте, середнє число заявок, що надходять в одиницю часу, незмінно.

3. Процес надходження заявок описується пуассоновским розподілом, причому заявки надходять з необмеженої множини.

4. Час обслуговування описується експоненціальним розподілом ймовірностей.

5. Темп обслуговування вище темпу надходження заявок.

Нехай λ - число заявок в одиницю часу;

μ - число клієнтів, що обслуговуються в одиницю часу;

n - число заявок в системі.

Тоді система масового обслуговування описується рівняннями, наведеними нижче.

Формули для опису системи М/М/1:

- середнє число клієнтів в системі;

- середній час обслуговування одного клієнта в системі (час очікування плюс час обслуговування);

- середнє число клієнтів в черзі;

- середній час очікування клієнта в черзі;

- характеристика завантаженості системи (частка часу, протягом якого система зайнята обслуговуванням);

- ймовірність відсутності заявок в системі;

- ймовірність того, що в системі знаходиться більше ніж k заявок.

II. Модель В - багатоканальна система обслуговування M / M / S. В багатоканальній системі для обслуговування відкриті два канали або більше. Передбачається, що клієнти очікують у загальній черзі і звертаються в перший канал обслуговування, що звільнився.

Приклад такої багатоканальної однофазової системи можна побачити в багатьох банках: із загальної черги клієнти звертаються в перше віконце для обслуговування, що звільнилось.

В багатоканальній системі потік заявок підпорядковується пуассонівскому закону, а час обслуговування – експоненціальному. Хто приходить першим - обслуговується першим, і всі канали обслуговування працюють в однаковому темпі. Формули, які описують модель В, досить складні для використання. Для розрахунку параметрів багатоканальної системи обслуговування зручно використовувати відповідне програмне забезпечення.

Для багатоканальної системи з необмеженою чергою повинно виконуватися умова <1, де r - параметр завантаження системи (середнє число зайнятих каналів), n - мінімальна кількість каналів, при якій черга не буде збільшуватися нескінченно. В іншому випадку граничні ймовірності існувати не можуть.

Формули для опису системи M / M / S:

- ймовірність того, що система вільна;

- ймовірність того, що в системі знаходиться n заявок;

- ймовірність того, що заявка буде в черзі;

- середнє число зайнятих каналів;

- середнє число заявок в черзі;

- середнє число заявок в системі;

- час перебування заявки в черзі;

- час перебування заявки в системі.

III. Модель С-модель з постійним часом обслуговування M/D/1.

Деякі системи мають постійний, а не експоненціально розподілений час обслуговування. У таких системах клієнти обслуговуються протягом фіксованого періоду часу, як, наприклад, на автоматичній мийці автомобілів. Для моделі С з постійним темпом обслуговування значення величин Lq і вдвічі менше, ніж відповідні значення в моделі А, що має змінний темп обслуговування.

Формули, які описують модель С:

- середня довжина черги;

- середній час очікування в черзі;

- середнє число клієнтів в системі;

- середній час очікування в системі.

IV. Модель D - модель з обмеженою популяцією.

Якщо число потенційних клієнтів системи обслуговування обмежене, ми маємо справу зі спеціальною моделлю. Таке завдання може виникнути, наприклад, якщо мова йде про обслуговування обладнання фабрики, що має п'ять верстатів.

Особливість цієї моделі в порівнянні з трьома розглянутими раніше в тому, що існує взаємозалежність між довжиною черги і темпом надходження заявок.

V. Модель Е - модель з обмеженою чергою. Модель відрізняється від попередніх тим, що число місць у черзі обмежене. В цьому випадку заявка, яка прибула в систему, коли всі канали та місця в черзі зайняті, залишає систему не обслугованою, тобто отримує відмову.

Як окремий випадок моделі з обмеженою чергою, можна розглядати модель з відмовами, якщо кількість місць в черзі скоротити до нуля.

Порівняльна характеристика різних моделей систем масового обслуговування наведена в таблиці:

Модель	Назва (технічне наймену-вання)	Приклад	Число каналів	Число фаз	Розпо-діл часу надход-ження заявок	Розподіл часу об- слугову-вання	Число клієнтів	Порядок проходження черги
A	Проста система (M / M / 1)	Довідкове бюро магазину	Один	Одна	Пуасо-нів-ський	Експо-ненцій-ний	Необмежене	FIFO
B	Баготока-нальна система (M / M / S)	Каси аерофлоту	Декіль-ка	Одна	Пуасо-нів-ський	Експо-ненцій-ний	Необмежене	FIFO
C	Рівномірне обслугову-вання (M/D/1)	Автома-тична мийка	Один	Одна	Пуасо-нів-ський	Постій-ний	Необмежене	FIFO
D	Обмежена популяція	Літаки невеликої авіакомпа-нії	Один	Одна	Пуасо-нів-ський	Експо-ненцій-ний	Обме-жене	FIFO
E	Обмежена довжина черги	Кількість місць у пе- рукарні	Декіль-ка	Одна	Пуасо-нів-ський	Експо-ненцій-ний	Обме-жене	FIFO