14. Главные оси и главные моменты инерции

Главными называются оси, относительно которых центробежный момент инерции

=0.

Или: оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Главные оси инерции можно провести через любую точку плоской фигуры.

Если одна из осей является осью симметрии – оси главные. Сумма моментов инерции при повороте осей не меняется.

В главных осях моменты инерции экстремальны относительно повернутых. Как следствие, при равных главных моментах инерции все повернутые оси главные.

14. Моменты инерции простых и сложных сечений

Вся теория изложена выше.

ДЕ №6

14. Поперечная сила, изгибающий момент и их эпюры

Связь поперечной силы и погонной нагрузки .?????

Связь изгибающего момента и поперечной силы .

Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Момент в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_z изображено на рисунке… ????????

14. Напряжения в поперечном сечении стержня при плоском изгибе

При плоском поперечном изгибе нормальные напряжения по ширине сечения балки распределяются равномерно.

При плоском изгибе стержня нормальные напряжения по высоте поперечного сечения имеют линейный закон распределения; равны нулю на нейтральной линии и достигают максимума в точках, наиболее удаленных от нее.

Нормальные напряжения в точке с координатой равно .

Максимальные нормальные напряжения в сечении определяются формулой ,

где момент сопротивления . Например, для прямоугольника , для круга .

Вывод формулы для определения нормальных напряжений при чистом изгибе основывается на гипотезе плоских сечений и гипотезе об отсутствии взаимного надавливания продольных слоев балки.

Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе определяются по формуле ; равны нулю на поверхности (при и ) и максимальны в центре тяжести сечения (при ).

Для прямоугольного сечения

Направление касательных напряжений соответствует направлению суммы внешних сил слева от сечения. Направление касательных напряжений в продольном сечении определяется по закону парности касательных напряжений.

14. Расчет балок на прочность

Расчет ведется по нормальным напряжениям (т.к. касательные для не тонкостенных балок значительно меньше нормальных).

Проверка на прочность по касательным напряжениям необходима в случае, если короткие балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами, имеющими большое значение; материал балки плохо сопротивляется сдвиговым деформациям; ширина поперечного сечения балки в районе нейтральной оси мала.

Для пластичных материалов с одинаковой прочностью на растяжение и сжатие (сталей) .

Для хрупких материалов с разной прочностью на растяжение и сжатие (чугунов) расчет ведут отдельно для сжатых и растянутых слоёв.

Лучше работать на изгиб при данных условиях закрепления и нагружения будет балка, у которой сечение ( ) изменяется в соответствии с с и изменением .

Полная проверка прочности балки при изгибе включает в себя проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям и проверку по главным напряжениям.

Наиболее выгодным с точки зрения экономии массы является сечение, у которого при равенстве моментов сопротивления минимальное отношение площадей. При конкретном определяют и сравнивают площади соответствующих сечений. При сравнении двутавра и прямоугольника с высотой две ширины – отношение площадей (масс) в пользу двутавра.

В общем случае поперечного изгиба на поверхности действуют только нормальные напряжения, в центре тяжести – только касательные, в произвольной точке – нормальные и касательные.