Утверждение 2.

Расстояние между внутренними точками дуги i-j и максимально удаленной от них вершиной равно

(MaxI + MaxJ + A[i, j])2.

Доказательство.

Заметим, что вершины k₁ и k₂ являются наиболее удаленными от дуги i-j (если бы существовала вершина k₃ более удаленная, чем k₁ и k_2, то она была бы более удаленной или от i, или от j).

Пусть x – абсолютный центр дуги i-j – внутренняя точка дуги (вершины при поиске абсолютного центра рассматриваются отдельно). Тогда вершины k₁ и k₂ равноудалены от точки x, иначе точку x можно было сдвинуть в точку x* с меньшим расстоянием от наиболее удаленной вершины.

Таким образом, D[k₁, x]=D[k₂, x], если точка x – абсолютный центр дуги i-j. Сумма D[k₁, x]+D[k₂, x] в точности равна MaxI + MaxJ + A[i, j] и расстояние между дугой и наиболее удаленной вершиной равно D[k₁, x]=D[k₂, x]=

(MaxI + MaxJ + A[i, j])2, ч.т.д.

Алгоритм. {Абсолютный центр}

Данные: неориентированный граф G=<V, E>, неотрицательная матрица весов A[u,v], u,vV.

Результаты: абсолютный центр графа G, находящийся на расстоянии x от вершины i дуги i-j.

1 begin

2 floyd; {формирование матрицы расстояний D алгоритмом Флойда}

3. minmax:=inf; r:=0; {minmax – расстояние от абсолютного центра r до самой удаленной вершины }

{поиск центра в вершинах}

3. for i:=1 to n do

4. begin

5. Max:=D[i,1]; {Max – расстояние до наиболее удаленной от i вершины}

6. for j:=2 to n do

7. if D[i,j]> Max then Max:=D[i,j];

8. if minmax> Max then

9. begin

10. r:=i;

11. minmax:= Max;

12. end;

13. end;

14. writeln(’Центр находится в вершине ’,r,’ расстояние до самой удаленной вершины ’,minmax:5:2);

{поиск абсолютного центра на дугах}

3. for i:=1 to n-1 do

4. for j:=i+1 to n do

5. if A[i,j]<inf then {дуга i-j существует}

6. begin

7. MaxI:=0; {расстояние от i до самой удаленной вершины}

8. MaxJ:=0; {расстояние от j до самой удаленной вершины}

9. for k:=1 to n do

10. if (k<>i) and (k<>j) then

11. begin

12. if D[i,k]<inf then di:=D[i,k];

13. if D[j,k]<inf then dj:=D[i,k];

14. if di>dj then{k ближе к j}

15. begin

16. if dj>MaxJ then {k наиболее удаленная от j вершина}

17. MaxJ:=dj;

18. end

19. else {k ближе к i}

20. begin

21. if di>MaxI then {k наиболее удаленная от i вершина}

22. MaxI:=di;

23. end;

24. end; {перебрали все вершины для дуги i-j}

{dist – расстояние от дуги i-j до наиболее удаленной вершины}

3. dist:=(MaxI+A[i,j]+MaxJ)/2;

4. x:=dist-MaxI; {расстояние абсолютного центра от вершины i}

5. if (dist<minmax)and

6. (x>0)and(A[i,j]-x>0){условие внутренней точки}

7. then

8. begin

9. minmax:=dist;

10. writeln(’Абсолютный центр для дуги ’, i,’-’,j,’ находиться на расстоянии ’,x:5:2,’ от вершины ’);

11. writeln(’Расстояние от наиболее удаленной вершины ’, minmax:5:2);

12. end;

13. end;

14. end.