Утверждение 1.

D’_k,i-j =(D[k, i]+A[i, j]+D[j, k])2,

где A[i, j] – вес дуги i-j, D[k, i] и D[j, k] – расстояния между парами вершин k i и j k соответственно.

Доказательство.

Так как дуга i-j не ориентирована, то из двух маршрутов от вершины k до какой-то точки дуги x будем выбирать минимальный. Можно показать, что если для точки x эти два маршрута имеют разную протяженность, то некоторая точка x*, которая находится от вершины k еще на большем расстоянии, чем вершина x. Для этого достаточно немного сдвинуть точку x таким образом, чтобы короткий маршрут стал чуть длиннее, а длинный маршрут чуть короче.

Поэтому, если наиболее удаленной от вершины k точкой дуги является какая-то внутренняя точка, то у нее оба маршрута имеют равную длину. В сумме эти маршруты дают D[k, i]+A[i, j]+D[j, k], откуда D’i‑j,k=(D[k, i]+A[i, j]+D[j, k])/2.

Предположим теперь, что наиболее удаленной от вершины k точкой дуги является граничная точка (i или j). Пусть j – наиболее удаленная точка дуги. Если длина самого короткого маршрута от k до j, не проходящего через i, больше D[k, i]+A[i, j], следовательно, расстояние от j до k D[j, k] равно D[k, i]+A[i, j] и оба маршрута совпадают. Отсюда D’i‑j,k= D[k, i]+A[i, j] =(D[k, i]+A[i, j]+ D[k, i]+A[i, j])/2=(D[k, i]+A[i, j]+D[j, k])/2, ч.т.д.

С помощью полученной формулы расстояния дуга-вершина сформируем матрицу D’ размерности nxm, у которой D’[j, k] – расстояние от вершины j до дуги с номером k.

Сумма элементов i – й строки матрицы D’ соответствует сумме расстояний от вершины i до всех дуг. Следовательно, главная медиана соответствует номеру строки матрицы D’ с минимальной суммой произведений элементов строки на вектор весов дуг.

Задачи поиска центров

Дадим несколько основных определений.

Определение 4.

Центр – это вершина графа r такая, что расстояние от нее до самой удаленной вершины минимально, т.е.

Max( D_ir )min, где i=1..n и D_ir – расстояние от i – й вершины до центра r.

Если n вершинам графа приписаны веса P₁ ,P₂ ,..,P_n, то минимизируется «взвешенное» расстояние

Max(D_ir  P_i )min.

Определение 5.

Главный центр - это вершина графа r такая, что расстояние от нее до самой удаленной дуги минимально, т.е.

Max (D’_re )min, где e=1..m и D’_re - расстояние от вершины r до дуги e.

Под расстоянием от вершины до дуги понимается максимальное расстояние от вершины до точек этой дуги.

Если m дугам графа приписаны веса P₁ ,P₂ ,..,P_m, то минимизируется «взвешенное» расстояние

Max (D’_re P_e)min.

Определение 6.

Абсолютный центр – это точка r на дуге графа такая, что расстояние от нее до самой удаленной вершины графа минимально, т.е.

Max (D_ir  P_i )min, где i=1..n и D_ir – расстояние от i – й вершины до центра r.

Поскольку целевая функция представляет собой максимальное расстояние, то задачи такого типа получили название минимаксных.

Рассмотрим модельный пример (рис. 3).

7

6

5

3

5

2

4

Рис. 3

Предположим, что в одной из вершин нам нужно разместить службу ГАИ, выезжающую в случае ДТП к месту происшествия. В этой задаче при размещении поста ГАИ следует минимизировать расстояние до наиболее удаленной дуги, т.е. искать главный центр.

Алгоритм поиска главного центра

1. Алгоритмом Флойда найти матрицу расстояний между всеми парами вершин D.

2. По формуле вычисления расстояния вершина - дуга найти матрицу D’.

3. В каждой строке матрицы D’ найти максимальный элемент.

4. Найти строку с наименьшим значением максимального элемента.

Таким образом, главный центр соответствует номеру строки матрицы D´ с минимальным значением максимального элемента.

Изменим задачу. Предположим, мы хотим разместить службу полиции, выезжающую при срабатывании сигнализации на охраняемых объектах, расположенных в вершинах графа. Считается, что срабатывание сигнализации является редким событием, и и главной целью является не расположение участка вблизи скопления охраняемых объектов, а прибытие в самый удаленный объект за минимальное время. В этой задаче полицейский участок можно располагать как в вершинах, так и во внутренних точках дуг, поэтому эта задача – задача о поиске абсолютного центра.

Предположим, что у нас имеется всего два охраняемых объекта. В этом случае полицейский участок следует поставить на полпути между ними. Понятно, что абсолютный центр не обязан находиться в вершине графа и может находится во внутренней точке дуги. Однако, если дуга ориентирована, и движение производится только в одном направлении, то конец дуги будет всегда ближе любой внутренней точки.

Итак, для ориентированной дуги любой центр является абсолютным;