Оптимальное размещение обслуживающих центров задачи поиска медиан
Рассмотрим двумерную задачу размещения. Населенные пункты соединены сетью дорог, требуется разместить школу таким образом, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми учениками, было минимально. Попробуем вначале разместить обслуживающий центр в вершине сети. Позже будет доказано, что такой обслуживающий центр на самом деле совпадает с одной из вершин.
Рассмотрим модельный пример (рис 1).
10
9
14
11
5
7
5
11
4
13
6
6
Рис. 1
Число учеников в вершинах 1..7 задано массивом P=[80,100,140,90,60,50,40].
Алгоритм решения.
Алгоритмом Флойда найдем матрицу D расстояний между всеми парами вершин:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
0 |
9 |
10 |
15 |
11 |
17 |
24 |
2 |
9 |
0 |
5 |
6 |
5 |
10 |
17 |
3 |
10 |
5 |
0 |
7 |
10 |
11 |
14 |
4 |
15 |
6 |
7 |
0 |
8 |
4 |
11 |
5 |
11 |
5 |
10 |
8 |
0 |
6 |
19 |
6 |
17 |
10 |
11 |
4 |
6 |
0 |
13 |
7 |
24 |
17 |
14 |
11 |
19 |
13 |
0 |
Если разместить школу в вершине 1, то сумма километров, пройденных всеми учениками, равна поэлементному произведению 1-й строки матрицы на вектор P:
S=080+9100+10140+1590+1160+1750+2440=6120.
Аналогично можно вычислить S при размещении школы в вершинах 2..7. Минимум целевой функции будет достигаться при размещении школы в вершине 2.
Сделаем, наконец, общую постановку задачи.
Определение 1.
Медиана – это вершина графа r такая, что сумма расстояний от нее до всех остальных вершин графа минимальна, т.е.
Dir min, где Dir – расстояние от i – й вершины до центра r.
Если n вершинам графа приписаны веса P1 ,P2 ,..,Pn, то минимизируется сумма «взвешенных» расстояний
Dir Pimin.
Определение 2.
Главная медиана - это вершина графа r такая, что сумма расстояний от нее до всех дуг минимальна, т.е.
D’re min, где D’re - расстояние от вершины r до дуги e, где e=1..m.
Под расстоянием от вершины до дуги понимается максимальное расстояние от вершины до точек на этой дуге.
Если m дугам графа приписаны веса P1 ,P2 ,..,Pm, то минимизируется сумма «взвешенных» расстояний
D’re Pe min. (Например, дуга – это участок автомагистрали, вес – интенсивность движения транспорта по этой дуге).
Определение 3.
Абсолютная медиана – это точка r на дуге графа такая, что сумма расстояний от нее до всех остальных вершин графа минимальна, т.е.
Dir Pimin.
Поскольку целевая функция представляет собой сумму, то задачи такого типа получили название минисуммных.
Дадим строгое доказательство того, что абсолютная медиана совпадает с одной из вершин.
Теорема 1.
Любая медиана является абсолютной медианой.
Доказательство.
Зафиксируем вершину k и дугу i-j и рассмотрим функцию расстояния от вершины k до точек этой дуги. Будем выражать положение точки на дуге с помощью независимой переменной x, принимающей значения из [0..1], причем x=0 для точки i и x=1 для точки j.
Изобразим график зависимости расстояния вершина – дуга как функцию от независимой переменной x. Так как дуга является неориентированной, то попасть из точки x в вершину k можно двумя маршрутами: через вершину i и через вершину j. Если два этих маршрута имеют неравную длину, то в качестве расстояния между k и x будет выбираться длина более короткого маршрута. График зависимости будет иметь один из трех возможных типов (рис.2).
D
D
D
x
x
x
0
0
0
1
1
1
Рис. 2
Линейный коэффициент этих кусочно-гладких кривых равен A[i, j].
Заметим, что если соединить любые две точки этой кривой отрезком прямой линии, то он всегда целиком будет лежать на кривой или под ней. Любая функция, обладающая таким свойством, называется вогнутой. Известно, что минимальное значение вогнутой функции всегда находится в ее граничных точках. Целевая функция есть сумма расстояний от точки дуги до вершины графа, т.е. сумма вогнутых функций. Поэтому ее минимум также находится в граничных точках дуги, т.е. вершинах, ч.т.д.
Итак, любая медиана является абсолютной и совпадает с номером строки матрицы расстояний D, дающей минимальную сумму произведений элементов строки на вектор весов вершин.
Рассмотрим теперь задачу о главной медиане. Для ее решения нужно уметь находить максимальное расстояние от вершины до точек дуги. Обозначим максимальное расстояние от вершины k до точек дуги i-j D’k,i-j и выведем формулу для ее вычисления.