8.4 Быстрое преобразование Фурье

Методика преобразования Фурье - очень эффективный инструмент, но сильно зависит от объема необходимых вычислений. Это делает методику непрактичной в случает, если вычисления не могут быть упрощены.

Рис. 8.35 Простые устройства а) Кольцевое устройство получения выборки b) Клинообразное устройство получения выборки

Рис. 8.36 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

Рис. 8.37 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

Рис. 8.38 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

Рис. 8.39 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

8.4.1 Дпф двумерного изображения, вычисляемое как два одномерных дпф

Свойство сепарабильности ядра может быть использовано для упрощения процесса преобразования. Перепишем уравнения 8.32 и 8.33 в следующем виде:

(8.64) (8.65)

Другими словам, операция преобразования функции изображения f(x,y) может быть произведена в два этапа: во-первых постолбцовое преобразование[т.е. выполнение одномерного преобразования по каждому столбцу функцииf(x,y)], а затем - одномерное преобразование по каждой строке результирующего спектра как показано в 8.64. Допустим и другой порядок преобразования, как показано в 8.65.

Рис. 8.39 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

Аналогично, обратное преобразование Фурье также может быть выполнено в два этапа:

(8.66) (8.67)

Свойство комплексной сопряженности в арифметических операциях также может быть использовано для упрощения вычислений. может в соответствии с 8.61 быть записано как

(8.68)

где - ядро обратного преобразования. Уравнение 8.68 может быть переписано как

(8.69)

Что интересно, ядро обратного преобразования в 8.68 преобразовано в ядро прямого преобразования в 8.69, так что возможно использовать ядро прямого преобразования для выполнения обратного. Для вещественных функций, где следует

(8.70)

Сравнение с 8.60 показывает, что алгоритм прямого преобразования может быть использован для выполнения обратного преобразования с заменой F(u,v) на[F(u,v)]*. Аргументация, подобная использованной для 8.64 и 8.65 справедлива и для 8.70, т.ч.

(8.71)

Рис. 8.40 Содержание информации в спектре Фурье а) Исходное изображение b) Спектр с) Восстановленное изображение с 95% потерей данных

d) Восстановленное изображение с 90% потерей данных е) Восстановленное изображение с 80% потерей данных

В отличие от 8.67 в уравнении 8.71 используется прямое преобразование Фурье. Можно сделать вывод, что обратное преобразование Фурье выполнимо как прямое над сопряженной функцией, а двумерное преобразование может выполняться как два одномерных. Т.е. одномерное дискретное преобразование Фурье является ядром всей операции и необходимо сконцентрировать внимание именно на нем.