Линеаризация

Преобразование Фурье - это линейный оператор, обладающий свойствами дистрибутивности и масштабирования. Т.е.:

		(8.34)
	(8.35)

Выражение 8.35 может быть доказано простой подстановкой в выражение 8.23 ax, by, u/a иv/yсоответственно вместоx, y, u, v.

Периодичности и сопряженная симметричность

Простой подстановкой u + N вместоu илиv + N вместоv в уравнение 8.23 можно показать, что преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье - периодичны и имеют периодN. Таким образом, мы имеем:

(8.36)

И

(8.37)

Тем же методом может быть доказано свойство симметричности преобразования Фурье относительно операции комплексного сопряжения:

Другими словами амплитуда изображения симметрична оригиналу:

(8.38)

Инвариантность относительно поворота

Если заменить прямоугольные координаты (x, y) и (u, v) на полярные, то функция, задающая изображение и ее преобразование заменяются на. Легко может быть показано прямой подстановкой в пару преобразований Фурье, что

(8.39)

Где . Это означает, что когда изображение поворачивается на уголего преобразование Фурье также поворачивается на(поскольку). Другими словами, в пространственном домене и домене преобразования происходит поворот на один и тот же угол. См. рисунки 8.8 и 8.9 для иллюстрации этого явления.

Рисунок 8.8 Свойство инвариантности преобразования Фурье относительно поворота: а) Исходное изображение b) Его спектр с) Изображение а, повернутое на некоторый угол d) Спектр изображения с.

Еще одна вещь, которую хочется добавить заключается в том, что для преобразования Фурье максимум информации об исходном изображении заключен в центральной части спектра. График интенсивности спектра не содержит никакой информации о положении объекта, информация о фазовом угле также оказывается выброшена при таком изображении. Полное восстановление исходного изображения по его спектру возможно только при включении обеих частей - и вещественной, и мнимой. Рисунки 8.10а и 8.11а показывают один и тот же объект, размещенный в различных точках пространства. Он дает соответствующие (идентичные) спектры, показанные на рисунках 8.10b и 8.11b. Рисунки 8.10с и 8.11с - спектры данных изображений, увеличенные для удобства сравнения. Детально проблема информации о пространственном положении объекта, содержащаяся в преобразовании Фурье, обсуждается в разделе 8.4.3.

Смещение

Спектр Фурье, показанный на рисунке 8.12bдля изображений, показанных в частиарисунка, концентрируется в четырех углах. Это служит причиной сложностей в получении полного вида спектра. Рисунок 8.12с показывает тот же самый спектр, после того, как он был смещен в точку(u₀, v₀), которая соответствует(N/2, N/2).

Рисунок 8.9 Свойство инвариантности преобразования Фурье относительно поворота. а) Изображение b) Соответствующий спектр с) Повернутое изображение d) Спектр повернутого изображения

Пусть F(u,v) - преобразование Фурье от функцииf(x,y).Если мы умножимf(x,y) на экспоненциальный множитель и затем произведем преобразование, исходная частотная характеристика окажется сдвинута в точку(u_0,v₀).Таким образом:

(8.40) (8.41)

Из 8.41 следует, что F(u-u₀,v-v₀) в точности соответствуетF(u,v) со сдвигом на(u_0,v₀).

Рис. 8.10 Компьютерная распечатка спектра Фурье для простого объекта а) объект b) его спектр Фурье c) центральная часть спектра

Аналогичное справедливо и для обратного преобразования Фурье. Если мы умножаем F(u,v) на экспоненциальный множитель и возьмем обратное преобразование от результата, мы получимf(x-x₀,y-y₀). Таким образом

(8.42)

Таким образом исходное пространственное изображение переместилось в новую позицию. Это было сделано путем его перемещения в точку (x₀,y₀). Уравнение 8.42 формирует пару преобразований с перемещением.

Чтобы сделать спектр более простым для чтения и анализа мы часто перемещаем центр частотного изображения в (u_0, v₀)=(N/2, N/2) вместо(u_0,v₀)=(0,0). При этом экспоненциальный множитель равен:

(8.43)

Так мы осуществляем центрирование преобразования.

Рисунок 8.11 Компьютерная распечатка спектра Фурье для того же изображения, что и на рисунке 8.10, но помещенного в другую позицию а) Изображение b) Спектр c) Центральная область спектра

(8.44)

Двойная стрелка в уравнениях 8.40 - 8.44 означает взаимную связь между функцией и ее преобразованием Фурье. Рисунки 8.12 и 8.13 дают представление о некоторых других рисунках или регулярных структурах и соответствующих им преобразованиях Фурье.

Можно показать, что амплитуда спектра не изменяется при сдвиге, т.е.

Рис. 8.12 Исходный спектр Фурье и он же после переноса в точку (N/2, N/2)

a) Исходное изображение b) Его спектр c) Тот же спектр после переноса

Рис. 8.13. Исходный спектр Фурье и он же после переноса в точку (N/2, N/2)

a) Исходное изображение b) Его спектр c) Тот же спектр после переноса

и, таким образом, изображение спектра не меняется за исключением смещения. Это происходит от того, что на изображение спектра влияет только его амплитуда.