Корреляция и свертка

В обработке изображений по методике преобразования Фурье корреляция и свертка - очень важные операции. Акцент на оценку различий между ними станет основной темой данного раздела. Следующие определения справедливы только для детерминированных функций. Корреляция между двумя непрерывными функциями f(x) иg(x) определяется как

(8.45)

где - временная переменная для интегрирования. Корреляция называетсяавтокорреляциейесли ивзаимной корреляциейв противном случае. Свертка по определению есть

(8.46)

Формы корреляции и свертки похожи, существует только одно различие между ними, показанное выше. При свертке g(x)сперва свертывается по вертикальной оси, а затем перемещается похдля полученияg(x-). Затем эта функция умножается наf() и интегрируется (см. рисунок 8.14).

Аналогично корреляция для двумерного случая определяется как:

(8.47)

Рисунок 8.14 Графическая иллюстрация различий между корреляцией и сверткой

После дискретизации корреляция между ипринимает вид

при

(8.48)

Если преобразование Фурье от f(x,y) естьF(u,v), а отg(x,y) естьG(u,v), преобразование корреляции от этих двух функций может быть вычислено как

(8.49)

что показывает, что обратное преобразование от дает корреляцию в пространственном домене.

Аналогичный результат может быть получен и для корреляции Фурье-преобразований:

(8.50)

где * означает комплексное сопряжение. В совокупности, эти два результата дают теорему о корреляции. Тем же способом мы можем получить теорему о свертке:

(8.51) (8.52)

.3.4 Содержание информации об изображении в спектре Фурье: практический пример

Как обсуждается в разделе 8.7.3 каждый объект-компонент в исследуемой области имеет собственный спектр. Все эти спектры складываются и центрируются относительно центральной оси. Интересно выяснить, какой процент данных, извлекаемых из центральной области спектра достаточен для сохранения качества изображения. Невозможно дать общий ответ на этот вопрос, поскольку он зависит от многих проблем. В некоторых случаях качество изображения является основным требованием, а потому большой процент спектра необходимо использовать для сохранения как высокочастотных, так и низкочастотных составляющих. В других случаях главным критерием является скорость обработки, поэтому допускается даже некоторая жертва качеством. Можно привести множество таких примеров, одним из которых является воздушная разведка. Необходимо искать необходимые объекты на небольшом пространстве с очень большой скоростью, а затем фокусировать внимание на заданной области для уточнения деталей. Первоочередной здесь является скорость, поскольку обработка требуется в реальном или псевдореальном времени.

Рис. 8.31 Спектр Фурье с относительно малой апертурой а) Простой образ b) Спектр с) Увеличенная центральная часть спектра

Сложное изображение, показанное на рисунке 8.36а было преобразовано и взята различная часть его спектра (5%, 10% и 20%) для восстановления изображения. Результаты показаны на 8.36b-e. Выброшено соответственно 95, 90 и 80 процентов информации. Легко увидеть, что в изображениис (-95% информации) потеряно много граничной информации. Но изображениеe иногда пригодно для обработки в тех случаях, когда необходима высокая скорость.

Другие примеры приведены ниже. Рисунки 8.37 и 8.38 - примеры двух регулярных шаблонов, а 8.39 и 8.40 - двух изображений. Изображения восстановлены с различным процентом спектральных данных. Интересно, что хотя все рисунки с с 8.37 по 8.40 получены с отбрасыванием 95% спектра, кажется, что 8.37 и 8.38 значительно более размыты, чем 8.39 и 8.40. Однако теоретически они должны получаться одинаковыми. Единственное различие в том, что размытость регулярных шаблонов воспринимается человеком значительно сильнее, чем изображений.

Рис. 8.32 Спектр Фурье с относительно малой апертурой а) Простой образ b) Спектр с) Увеличенная центральная часть спектра

Рис. 8.33 Спектр Фурье с относительно малой апертурой а) Простой образ из параллельных линий b) Его спектр

Рис. 8.34 Спектр Фурье с относительно малой апертурой а) Простой образ b) Его спектр