35

Глава 8. Предобработка изображений на основе дискретных преобразований

Существует необходимость решения задачи распознавания образов средствами компьютера при больших объемах входных данных. Предобработка больших объемов таких данных в лучшую форму может быть весьма полезна для более точного распознавания образов. Двумерные изображения – хороший пример задачи с большими массивами данных. Предобработка изображений может быть произведена в одном из двух доменов – пространственном домене и домене преобразований. Рисунок 8.1 показывает общую картину цифровой обработки изображений в пространственном домене и домене Фурье и связь между ними.

Когда изображение обрабатывается в пространственном домене, обработка оцифрованного изображения осуществляется непосредственно либо путем обработки точек, либо путем обработки соседей для улучшения качества или восстановления изображения. Но если изображение должно быть обработано в домене преобразований, оцифрованное изображение должно быть сперва преобразовано при помощи дискретного преобразования Фурье (ДПФ) или быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обработка затем производится над изображением в домене преобразований. После того, как изображение обработано, обратная операция к БПФ (называемая обратным быстрым преобразованием Фурье – ОБПФ) производится над результатом и преобразует его обратно в пространственный домен.

Преобразование изображения и обратное преобразование изображения – две промежуточные операции. Они связаны таким образом, что обработка изображения может быть произведена в домене преобразований, а не пространственном домене. Чтобы выполнять обработку таким образом существует три причины:

1. Изображение может быть лучше приспособлено в домене преобразований для некоторых операций, таких как свертка и коррелирование.

2. Некоторые свойства могут быть очевиднее и проще в этом домене.

Рис 8.1 Схема обработки изображения

Рис 8.2. Дискретизация непрерывной функции

3. Может обеспечиваться сжатие данных, вызывающее уменьшение требований к памяти на этапе исполнения и хранения, а также требований к пропускной способности канала при передаче.

8.1 Формула преобразования изображения

Если непрерывная функция (см. рисунок 8.2) дискретизована наN значений с шагом, так что, функцияможет быть представлена как

(8.1)

При этом мы имеем дискретную пару преобразований Фурье^*:

(8.2) (8.3)

Где N – есть число отсчетов, снятых с непрерывной функции. Соответствующая этому преобразованию пара непрерывных одномерных функций:

(8.4) (8.5)

Расширяя вышеизложенное на случай двумерных функций мы имеем пару преобразований Фурье для непрерывных функций:

(8.6) (8.7)

Где x иy – пространственные координаты, аf(x, y) – модель изображения, в то время, какu иv– пространственные частоты иF(u, v) – частотный спектр. Соответствующая дискретная пара преобразований для двумерных функций будет иметь вид:

(8.8) (8.9)

Частотный спектр F(u,v) может быть вычислен, если подставить соответствующие значенияx, y, u и v в уравнение 8.8. Очевидно, что такое вычисление весьма громоздко, равно как и вычисление спектра компьютером при больших N.

Существует несколько возможных методик преобразования, включающих и уравнение 8.8. Если экспоненциальный множитель заменить на более общий, то уравнение 8.8 превращается в

(8.10)

Где F(u,v) – есть преобразованная матрица изображения размером NNеслиf(x,y)представляет собойNN чисел, используемых для представления дискретной модели изображения как показано ниже:

(8.11)

Функция представляет собой ядро прямого преобразования. Соответственно, мы можем записать обратное преобразование:

(8.12)

Где - ядро обратного преобразования. В случае преобразования Фурье, ядро обратного преобразования. Уравнения 8.10 и 8.12 образуют пару преобразований. Преобразование унитарно¹если имеют место следующие условия ортонормированности:

(8.13) (8.14) (8.15) (8.16)

Где символом * обозначена операция комплексного сопряжения, а функция Дирака определяется как

(8.17) (8.18)

Это выражение легко может быть доказано подстановкой исоответственно вместоив уравнение 8.13.

Двумерное преобразование является очень утомительной математической операцией, а потому много усилий было затрачено на ее упрощение. Свойство сепарабильности преобразования очень подходит для этой цели. Преобразование называется "сепарабильным", если его ядро может быть записано как:

(8.19) (8.20)

Таким образом, сепарабильное унитарное преобразование может быть вычислено в два этапа:

1. Преобразование столбцов, или одномерное преобразование по каждому столбцу изображения ;

(8.21)

где есть ядро прямого преобразования столбца и равнов случае преобразования Фурье.

2. Построчное преобразование или одномерное унитарное преобразование по каждой строке :

(8.22)

где есть ядро прямого преобразования для строки и равнов случае пребразования Фурье. Таким образом двумерное преобразование может быть вычислено в два этапа, каждый из которых является одномерным преобразованием. Если разработан эффективный и результативный алгоритм одномерного преобразования, он может циклически применяться для двумерного преобразования.