8.2 Функциональные свойства двумерного преобразования Фурье

Как показано в разделе 8.1, преобразование Фурье для непрерывной функции есть

(8.23)

.

Эта функция преобразования в общем случае комплексная и состоит из двух частей:

(8.24)

Рис 8.3 Фурье-спектр простого прямоугольного объекта с равномерной интенсивностью. а) Объект b) Спектр

или в полярной форме

(8.25)

где ,

и .

Обратное преобразование дает. Обратное преобразование формирует пару для 8.25.

(8.26)

Эта пара преобразований имеет место если непрерывна и интегрируема итакже интегрируема. Если у нас имеется простой прямоугольный объект с равномерной интенсивностью, т.е., показанный на рисунке 8.3, то его спектр Фурье может быть вычислен в соответствии с уравнением 8.23 как показано ниже:

Рис. 8.4 Компьютерная распечатка Фурье-спектра простого вертикального прямоугольного объекта с постоянной интенсивностью: а) объект b) спектр

или

(8.28)

где . Рисунок 8.3b показывает карту интенсивности спектрана которой мы можем наблюдать, что плотность спектра изменяется по синусоиде.

Некоторые дополнительные примеры двумерных функций и их спектров приведены на рисунках 8.4 - 8.7 Число пикселов в направлениях x иy для изображений и их спектров одинаково, но из-за погрешностей монитора (таких, как неравная величина пиксела по горизонтали и вертикали) результирующее изображение спектра размазывается как показано на рисунках 8.4-8.7. Это относится и к последующим изображениям.

Следующие свойства преобразования Фурье заслуживают обсуждения.

Сепарабильность ядра

Преобразование Фурье заданное уравнением 8.23 может быть представлено в сепарированном виде:

(8.29)

Интеграл в квадратных скобках представляет собой - построчное преобразование.может быть представлена как

(8.30)

Рис 8.5 Компьютерная распечатка простых регулярных форм:

a) объект b) спектр c) увеличенное изображение центральной области спектра

Рис. 8.6 Компьютерная распечатка спектра Фурье простого изображения с интенсивностью, распределенной по гауссовскому закону. a) Изобразжение b) Спектр Фурье c) Центральная область спектра

или

(8.31)

где

(построчное преобразование)

Принципиальное значение сепарабильности ядра состоит в том, что двумерное преобразование Фурье может быть разделено на два вычислительных шага, каждый из которых представляет собой одномерное преобразование Фурье, которое значительно менее сложно, чем двумерное преобразование.

Рис. 8.7 Компьютерная распечатка спектра Фурье для простого объекта с равномерной интенсивностью. a) объект b) спектр Фурье c) увеличенная центральная часть спектра

Таким образом:

(8.32)

Или

(8.33)

Где представляют соответственно столбцовое и строковое преобразование.

Аналогичные рассуждения верны и для обратного преобразования Фурье. Поскольку в данных двух шагах применяется одномерное преобразование Фурье, наибольшие усилия следует сконцентрировать на разработке как можно более эффективного алгоритма его выполнения.