С полупроводниковыми приборами

2.1. Цепи с резистивными малоинерционными нелинейными

элементами. Графический расчёт

Расчёт выполняется по характеристикам для мгновенных значений i(u), которые можно складывать как на постоянном токе. Этот расчёт формально подо­бен изложенному в предыдущем параграфе и выполняется чисто графически. В качестве примера рассмо­трим расчёт простейшего полупроводникового выпрямителя.

Пример 2. Графический расчёт однофазного однополупериодного

выпря­мителя с R- нагрузкой.

Заданы: входное синусоидальное напряжение uвх (t) = Um·sin(ωt), в .а.х. диода iд (uд), сопротивление Rнг.

Требуется: получить кривую тока i(t) и величины I₀, U₀, Uд.обр , по которым мож-но выбрать диод для работы в этой схеме.

Решение

1. Уравнение для построения общей в.а.х. цепи записываем по II за-кону Кирхгофа в мгновенных значениях:

uвх ( i ) = uд (i) + uнг (i) = [ uд + uнг ]( i ).

2. Искомую кривую тока в цепи i(t) получаем графическим наложени­ем заданной кривой uвх(t) на результирующую в.а.х. цепи uвх ( i ).

Такой метод называют методом трёх координатных плоскостей.

3. Обратным проецированием кривой тока i (t) на характеристику uд ( i ) можно получить кривую напряжения на диоде uд ( t ). Кривая напряже­ния на R нагрузке повторяет кривую тока: uнг (i) = Rнг· i (t).

Расчёт закан­чивается определением среднего и действующего значений тока и на­пряжения на нагрузке:

Iср = ; I = ; Uнг = Rнг ·I .

АНАЛИЗ И ВЫВОДЫ: графический расчёт достаточно быстро даёт форму кривой тока i(t) и подтверждает, что нелинейный эле­мент типа "диод" не вызывает сдвига по фазе между напряжением и током.

Очевиден эффект выпрямления переменного тока диодом, но для этого амплитуда прикладываемого напряжения должна быть достаточ-ной. При малой амплитуде uвх ( i ) полуволны тока соизмеримы, и эф-фект выпрямления теряется.

Недостатком графического расчёта является то, что он не даёт аналитического выражения результатов расчёта, по которым можно было бы анализировать работу цепи при изменении того или иного параметра.

2.2. Краткие сведения об основ­ных схемах и расчётных

соотношениях простейших выпрямителей

Выпрямительное устройство ВУ может содержать трансформатор Тр для понижения напряжения до нужного уровня, собствен­но схему выпрямления В и сглаживающий фильтр Ф для уменьшения пульсаций выпрямленного напряжения и тока.

В таблице 1 / Изъюрова Г.И., Кауф­ман М.С. "Приборы и устройства промэлектроники", 1975г., с.146 / приведены основные схемы выпрям-ления и некоторые расчётные соотно­шения, справедливые при R-на-грузке и идеальных вентилях.

*Под выпрямленным током и напряжением понимают постоянные состав­ляющие, т.е. средние за период значения несинусоидальных вели­чин i(t), u(t), имеющих место в цепи с диодом.

U₀ =

U ₀ = ~ ; I ₀ = 0,45 I ~ .

*Выбор диодов по условиям теплового и электрического пробоя осуществляется именно по среднему значению тока и по максимальному обратному напряжению на диоде. Для однополупериодной схемы:

Iд = I ₀ = 0,45 I ~ .

Uобр.макс = Um~ = π · U ₀ = 3,14 U ₀ .

*Действующие значения выпрямленного тока и напряжения будут больше, так как они учитывают и постоянную и переменную составляющие величин на выходе выпрямителя.

U выпр = = 0,7071U~ . I выпр = = 0,7071 I ~ .

Кстати, из этих выражений следует, что мощность в R-нагрузке по-сле выпрямителя будет в 2 раза меньше, чем при его отсутствии:

Рнг = против Рнг = ;

Таблица 1.

* Понятие о коэффициенте мощности выпрямителя χ связано не со сдви­гом по фазе между током и напряжением, а с искажением кривой тока по отношению к синусоидальной кривой питающего напряжения.

χ → cos φ = = 0,7071.

* Понятие о кпд η = Рнг / Рист применительно к выпрямителям довольно неоднозначно. С одной стороны, если диоды идеальны, то на них нет потерь, и кпд должен быть равен 100%. С другой стороны, ес-ли рассматривать само по себе отношение мощностей Рнг /Рист, обыч- но называемое коэффициентом полезного действия, то мощность Рнг можно считать через постоянную составляющую тока I₀ и через полный выпрямленный ток Iвыпр. Активная мощность в нагрузке Рнг = =Rнг ∙ Iвыпр², т.е. должна считаться через действующее значение выпрямленного тока. Но учитывая то, что основное назначение выпрямителя – преобразовывать переменный ток в постоянный, в качестве Рнг следовало бы принять мощность Р₀. Тогда, сравнивая мощность по постоянному току с мощностью по переменному току Ро / Р~ , правильнее было бы говорить не о кпд, а о коэффициенте эффективности Кэфф преобразования переменного тока в постоянный. Для однополу-периодной схемы он получается очень низким:

Кэфф = = = = 0,287.

* В учебнике Г.И. Атабекова, стр.76 приводится несколько иное изложение этих понятий.

Полагая фактическое сопротивление диода в рабочей области постоянным и равным Rд, активную и полную мощности, которые подводятся к выпрямителю и нагрузке, можно записать через действующее значение выпрямленного тока I = Iвыпр = Im /2 :

Р = (Rд +Rнг) · I ² = (Rд +Rнг) · ;

S = ;

Полезной мощностью у выпрямителя принимается мощность в на-грузке по постоянному току :

Р₀ = Rнг· I₀ ² = Rнг· .

Тогда коэффициент мощности χ и коэффициент эффективности преобразования тока получаются следующими:

χ → cos φ = Р/S = / 2 = 0,7071.

Кэфф = , и при Rд = 0 Кэфф = 40,5%.

Однополупериодная схема выпрямления применяется лишь в случаях самых низких требований к выпрямителю.

2.3. Аналитический расчёт цепей с вентилями.

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Электрическим вентилем принято называть резистивный нелинейный элемент с резко выраженной несимметрией вольтамперной харак­-теристики относительно начала координат, или: электрический вен­тиль - это резистивный нл-элемент с односторонней проводимостью. Если сопротивление нл-элемента при одной полярности напряжения рав­но нулю, а при обратной бесконечно велико, вентиль называют идеальным.

Для аналитического расчёта цепи в.а.х. вентилей аппроксимиру­ют, т.е. описывают приближёнными аналитическими выражениями.

Аппроксимация характеристик элементов содержит в себе два момен­та: выбор типа аппроксимирующей функции и расчёт её коэффициентов. В качестве аппроксимирующей функции может быть принята парабола, гипербола, экспонента, но чаще это кусочно-линейная функция, как наи­более простая. Удовлетворительность аппроксимации оценивается на основе критериев приближения. Различают: максимальное приближение функции на интервале [1], среднеквадратич-ное при­ближение [2] и интерполяционное приближение, когда аппрокси-мирующая функция в нескольких заданных точках совпадает с исходной.

│f (x) –ƒ(х)│≤ ε [1] ≤ δ [2]

Для аппроксимации вольт-амперных характеристик вентилей обыч-но пользуются кусочно-линейной функцией. В расчётах же использу-ют не сами аналитические выражения, а линейные схемы замещения

элемента, соответствующие участкам аппроксимации.

Исходные ВАХ полупроводниковых диода и стабилитрона

Аппроксимированные в. а. х. и схемы замещения нл-элемента

Н а основе рассмо-тренных примеров могут быть составлены схемы за­ме- щения различных вариантов включения нл - элементов подобно­го типа.

------------------------ ♦ --------------------------

ПРИМЕР 3. Аналитический расчёт цепи с вентилем по мето­ду

кусочно-линейной аппроксимации.

Дано: uвх (t) = 20·sin(ωt),В f = 50Гц

Е₃ = 3,75 В R₁ = 2 Ом,

R₂ = R₃ = 6 Ом, диод идеальный.

--------------------------------------------------------------------------

Требуется: найти iд(t), Iд, Uд обр.

Решение

1.Перед расчётом по кривой входного напряжения uвх(t) анализи-руем работу цепи и устанавливаем режим, с которого начинается цикл работы нелинейного элемента.

I режим: диод заперт, 0 < ωt < ωt₁ ;

II режим: диод открыт, ωt₁< ωt < ωt₂ ;

Далее вновь идёт I режим: ωt₂ → 360⁰.

2. По условиям задачи – диод идеальный. В соответствии с таким видом аппроксимации характеристики диода составляем и рассчиты-ваем схемы за­мещения цепи по каждому интервалу аппроксимации.

*Расчёт цепи на I-ом интервале: 0< < , диод заперт.

Цепь простая, расчёт ведём по закону Ома.

i₁(t) = = 2,5 sin ωt , А

i₂(t) = i₁(t) = 2,5 sin ωt , А i₃(t) = iд (t) = 0

По II закону Кирхгофа записываем напряжение на диоде :

uд(t) + R₃·i₃(t) – R₂·i₂(t) = - E₃ ; uд(t) = - 3,75 + 15 sin ωt , В.

Границу этого интервала находим, воспользовавшись граничными значениями тока или напряжения диода: как только напряжение на диоде станет равным нулю, он откроется.

uд(ωt₁) = - 3,75 + 15 sin ωt₁ = 0, отсюда ωt₁ = 14,5⁰ .

*Расчёт цепи на II-ом интервале: < < ωt₂ , диод открыт.

Итак, режим работы цепи при открытом диоде начинается при ωt₁₌ = 14,5⁰. Здесь /схема справа / цепь сложная, содержит источники постоянной и синусоидальной э.д.с., поэтому расчёт целесообразно вы-полнять по методу наложения.

Токи от источника uвх(t): i₁’(t) = = 4sin ωt , А

i₂’(t) = i₃’(t) = 2 sin ωt , А

Токи от источника Е₃ : i₃’’(t) = = - 0,5 А

i₂’’(t) = + 0,125 A i₁’’(t) = - 0,375 A.

Полные токи цепи на II-ом интервале:

i₁^II(t) = - 0,375 + 4 sin ωt , А

i₂^II(t) = + 0,125 +2 sin ωt , А

i₃ ^II(t) = - 0,5 + 2 sin ωt , А uд ^II(ωt) = 0 .

В конце II-го интервала диод вновь запирается. Границу ωt₂ этого интервала можно найти по выражению тока в диоде, приравняв его к нулю: i₃д ^II(ωt₂) = + 0,125 +2 sin ωt₂ = 0 . Но заметим себе, что в силу симметрии кривой uвх (t), эту границу можно было указать сразу после определения границы ωt₁: ωt₂ = 180⁰ – ωt ₁ = 165,5⁰.

Запомним: границы интервалов следует определять с учётом ква-дранта изменения входного напряжения. Здесь же добавим, что если в расчёте получается, что sinωt должен быть больше ⁺1, то это означает, что перехода цепи в следующий режим не происходит, диод либо не отпирается данным на­пряжением, либо не запирается.

3. Далее в расчёте записывают окончательные выражения мгновенных значений токов и напряжений цепи, в случае необходимости определя­ют средние или действующие значения величин, строят графики.

iд (t) = uд (t) =

В нашем примере определим среднее значение тока диода Iд.ср. и

н апряжение Uд.обр_., необ­ходимые для выбора диода, а для нагляднос-ти построим графики. Среднее / и действующее / значения тока диода можно определить как через интегральные выражения, так и приближённо, по графику:

Iср = I =

Iср = ; I = ;

Период функции разбиваем на n = 12 равных интервалов с ∆ωt = 30⁰. Значения in(t) будем брать в конце каждого интервала. Тогда получим: Iср = 0,414 А , I = 0,694 А . Максимальное обратное напряжение на дио-де можно найти по выражению uд(t) или непосредственно по графику: Uобр.макс = 18,75 В. Таким образом, для работы в этой схеме диод дол-жен быть выбран на ток Iср = 0,414 А и на обратное напряжение не менее 20 В.

** Примечание: если требуется рассчитать не все токи цепи, а лишь построить зависимость "вход-выход" устройства, возможны упрощён-ные приёмы /см. в учебнике: Атабеков Г.И., ТОЭ, ч.II, стр.72 /.

2.5.Особенности расчёта цепей с вентилями при наличии в

цепи реактивных элементов.

Ток и напряжение после однофазных выпрямителей, как известно, имеют значительные пульсации: у однополупериодной схемы Кп = 1,57, у двухполупериодных схем Кп = 0,667. Поэтому здесь часто при-меняются сглаживающие L или С-фильтры. При этом каждое открывание или запирание диода, по сути, есть включение или отключение RL или RC-цепи, при котором токи и напряжения следует рассматри-вать как в переход­ном процессе. В схеме становятся возможными скачки тока или напря­жения, возникает сдвиг по фазе между током и напряжением, наруша­ются соотношения, приведенные в таблице 1. Рассмотрим для наглядности конкретные примеры расчёта выпрямителей, имеющих сглаживающий фильтр.

Пример 4. Расчёт выпрямителя с ёмкостным фильтром.

Дано: uвх (t) = 220 ·sin(ωt),В f = 50Гц, схема включается при незаряженном конденсаторе, диод идеальный,. Rнг =100 Ом, С = 200мкФ

/Хс = 16 Ом /. Для эффективного сглаживания пульсаций выпрямленного напряжения сопротивление Xc на основной гармонике должно быть значительно меньше сопротивления нагрузки.

Требуется найти iд , uд , Uобр.макс, а также параметры выпрямленного тока и напряжения нагрузки Iнг, Uнг, сравнив их с приведенными в таблице для случая работы выпрямителя без фильтра.

Решение

1.Анализ цепи показывает, что диод начинает работу с открытого состояния, конденсатор и сопротивление нагрузки Rнг оказываются включёнными прямо на входное напряжение. Но режим длится лишь часть периода напряжения uвх(t), т.е. это не установившийся синусо-идальный режим, и ток в ёмкости нельзя находить по за­кону Ома: Ic= = Uвх / Хс. Поэтому расчёт цепи на I-ом интервале ведём следующим образом:

* uд (t) = 0 , uс (t) = uнг (t) = uвх (t) = 220 ·sin(ωt), В

* iс(t) = C = 19,54cos ωt , А

* iнг (t) = = 3,11sin ωt , А

* iд = iс + iнг = 19,54cos ωt +3,11sin ωt, А .

* граница интервала будет во II-ом квадранте, т.е. после 90⁰ :

iд (ωt₁) = 19,54cos ωt₁ +3,11sin ωt₁ = 0 tg ωt₁ = - 6,28 ωt₁ = 99,05⁰.

2.В момент запирания диода цепь отключается от источника, и кон-денсатор начинает разряжаться через сопротивление нагрузки.

Расчёт цепи на II-ом интервале:

*uс ( 0 ) = uс (ωt₁) =220 ·sin(99,05⁰) = 307,26 В

*τ = Rнг ·C = 0,02с = 20мс р = - 50 1/с ωt₁ = 99,05⁰ t₁ = 5,5мс.

*uс (t) = 307,26 ·е ^{-50(t – t1)}, В

*iнг (t) = - iс(t) = 3,0726·е ^{–50 [ t – 0,0055 ]}, А iд (t) = 0 .

* uд (t) = uвх (t) - uс (t) = 311sin ωt - 307,26 ·е ^{-50 [ t – 0,0055 ]}, В.

Граница интервала.

С физической точки зрения этот режим закончится тогда, когда uвх,

пройдя отрицательную полуволну, станет положительным и превысит ос­таточное напряжение на конденсаторе. Судя по достаточно боль-шой постоянной времени τ = 20мс, это произойдёт уже на следующем периоде изменения входного напряжения.

С математической стороны для определения момента ωt₂ необходи-мо решить трансцендентное уравнение:

uд (ωt₂) = 311sin ωt₂ - 307,26 ·е ^{-50 [ t} 2 ^{– 0,0055 ]} = 0 .

Решение таких уравнений обычно выполняют графически, а затем полученное значение ωt ₂ уточняется аналитическим расчётом.

Графическим решением получено ωt ₂ ≈ 25 ⁰. Уточняем его аналитическим расчётом.

ωt 2	311sin ωt2	- 307,26 ·е -50 [ t 2 – 0,0055 ]	uд (ωt2)
25,20	132,471	- 138,765	- 6,294
26,00	136,389	- 138,443	- 2,054
26,390	138,267	- 138,277	- 0,010
26,50	138,824	- 138,251	+ 0,573

Итак, уточнённое значение ωt ₂ = 26,4 ⁰.

3. Записываем окончательные выражения токов и напряжений:

iнг (t) = uнг (t) =

iс(t) = uс (t) =

Границы интервалов: 26,4⁰ → 99,05⁰ /в первом цикле 0 → 99,05⁰ /.

99,05⁰ → 360⁰ → 26,4⁰ .

iд (t) = uд (t) =

4.Графики напряжений uнг (t), uс (t), uд (t) и тока нагрузки iнг (t) уже построены на верхнем рисунке. Для полноты картины строим также графики токов диода и конденсатора iд (t), iс(t).

По графикам наглядно видно, что в моменты открывания диода токи в ёмкости iс(t) и в диоде iд (t) изменяются скачкообразно.

5. Для сравнения результатов расчёта выпрямителя с ёмкостным фильт­ром с соотношениями, приведенными в таблице 1, по графикам, при­ближённо, разбивая период на n =12 участков, находим средние и дей-ствующие значения токов и напряжений.

В нагрузке: I₀ = 2,213 А, U₀ = 221,3 В /против 0,99 А и 99 В/

Iвыпр = 2,275 А Uвыпр = 227,5 В.

В диоде : Iд = 6,8 А Uд.обр.макс = 510 В.

Пример 5. Расчёт выпрямителя с индуктивным

сглаживающим фильтром.

Дано: uвх (t) = 220 ·sin(ωt),В f = 50Гц, схема включается при незаряженной индуктивности, диод идеальный,. Rнг =100 Ом, L = 2 Гн,

/Х_L= 628 Ом /. Для эффективного сглаживания пульсаций выпрямлен-ного напряжения сопротивление X_L на основной гармонике должно быть значительно больше сопротивления нагрузки.

Требуется найти iд , uд , Uобр.макс, а также параметры выпрямленного тока и напряжения нагрузки Iнг, Uнг, сравнив их с приведенными в таблице для случая работы выпрямителя без фильтра.

Решение

1.Работа схемы начинается с режима открытия диода. По времени режим длится лишь часть периода синусоиды, поэтому, по сути, это переходный процесс от включения RL-цепи на входное напряжение uвх(t). Уравнение цепи на этом интервале - это дифференциальное уравнение с правой частью, которое и решаем.

uд (t) + L· di/dt + Rнг · i(t) = uвх (t) ; на этом интервале uд (t) = 0.

i (t) = iпр (t) +iсв (t) =

Um= 311,1 В Z = 635,9 Ом φ = 80,95⁰ τ = 0,02с р = - 50 1/с

А = - iпр ( 0 ) = +0,483 .

Итак, на первом интервале имеем:

i (t) = iд (t) = iнг (t) = 0,489sin(ωt - 80,95⁰) + 0,483·e ^{- 50 t} , А

uнг (t) = 48,9 sin(ωt - 80,95⁰) + 48,3·e ^{- 50 t} , В .

2. На втором интервале диод заперт, ток в цепи равен нулю. Напряже­ние на диоде записываем по II закону Кирхгофа.

iд (t) = iнг (t) = 0

uд (t) = uвх (t) = 220 ·sin(ωt) В .

3. Границу между первым и вторым интервалами находим по выражению тока на первом интервале или по выражению напряжения на диоде: iд ^I(ω t ₁) = 0

0,489sin(ωt₁- 80,95⁰) + 0,483·e ^{- 50 t 1} = 0

Уравнение вновь трансцендентное, его решение находим графичес-ки с последующим уточнением значения ωt₁аналитическим расчётом.

По графику ωt₁≈ 285⁰ , уточнённое значение ωt₁= 287,4⁰ .

Итак, при ωt₁= 287,4⁰ диод запирается. Режим запертого диода продлится до 360⁰, когда мгновенное значение входного напряжения становится вновь положительным, т.е. ωt₂ = 360⁰.

Среднее и действующее значения выпрямленного тока и напряжения при наличии такого L-фильтра получаются :

Iср = I₀ = 0,351 А Iвыпр = 0,461 А / I ~ = = 0,299 А /.

Uср = U₀ = 35,1 В Uвыпр = 46,1 В. / U~ = 29,9 В /.

Рассчитаем и оценим коэффициент пульсаций выпрямленного тока.

Кп = против Кп = 1,57 без фильтра.

*Интересен случай работы выпрямителя на чисто реактивную L-на-грузку, Rнг = 0. Его стоит рассмотреть самостоятельно по учебникам.

*В заключение для наглядности результаты расчётов

сведём в таблицу.

Параметры	U0, В	U~, В	Кп	Iср.диода	Uд.обр
Выпр. без фильтра	99	155,43	1,57	0,99 А	311 В
Выпр. с С – фильтром (Хс = Rнг/6,25 )	221,3	52,75	0,238	6,8 А	510 В
Выпр. с L-фильтром (ХL = 6,28 Rнг )	35,1	29,9	0,85	0,35 А	297 В

Теперь перейдём к рассмотрению цепей переменного тока с нелинейными индуктивностями. ---- Скорректировано. АВХ, 28апреля 2007г.