3. Связь между геоцентрической широтой и координатами х и у, отнесенными к центру и осям эллипса. Выражение радиус-вектора.

Обозначая радиус-вектор ОМ через r, на основании рис. 9.3 напишем:

x = r cos Ф; y = r sin Ф (9.15)

Подставляя эти выражения в уравнение меридианного эллипса (9.1), получим:

Решаем это уравнение относительно r:

На основании (9.15) имеем:

(9.16)

Выражение для радиуса-вектора в функции геодезической широты определится из (9.7), (9.8), (9.15), а именно:

.

Решая это уравнение относительно r и удерживая члены с е⁴, после преобразований получим в окончательном виде

. (9.17)

4. Связь между приведенной широтой u и геодезической широтой в.

На рис. 9.3 изображены меридианный эллипс PE₁P₁E и полуокружность EQE₁, необходимая для построения угла, являющегося приведенной широтой u .

Предварительно установим связь между ординатами точек эллипса и окружности, имеющими одну и ту же абсциссу.

Например для точки М установим связь между отрезками М₂М и М₂М₁.

Из треугольника ОМ₁М₂ (рис. 9.3) следует:

(ОМ₂)² +(М₂М₁)² = а². (9.18)

Рис. 9.3

Поскольку точка M принадлежит меридианному эллипсу, ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса (9.1), т. е.

или

. (9.19)

Сопоставление выражений (9.18) и (9.19) дает:

М₁М₂ = М₂М , или ММ₂ = М₁М₂ . (9.20)

Для получения связи между приведенной широтой u и геодезической В имеем из рис. 9.3:

х= асоs u (9.21)

и на основании (9.20)

,

но М₁М₂ = аsinu,

поэтому

. (9.22)

Из (9.21) и (9.22) легко получаем выражение для приведенной широты u через прямоугольные координаты х и y:

(9.23)

. (9.24)

Но на основании (9.5)

, (9.25)

следовательно, из (9.23) и (9.25) имеем:

,

откуда окончательно получаем искомую точную зависимость:

. (9.26)

Выведем приближенную формулу разности (В — u), удобную для рассчетов:

.

Раскладывая в ряд, а также заменяя cosu и на cosВ (допуская тем самым ошибку на малую величину порядка е⁴), получаем окончательное выражение для (В — u):

. (9.27)