9. Связь между некоторыми системами координат
1. Связь между геодезической широтой в и координатами х и у, отнесенными к плоскости меридиана определяемой точки.
Возьмем меридианный эллипс, проходящий через некоторую точку М (рис. 9.1). Напишем уравнение этого эллипса:
.
(9.1)
Рис. 9.1
Известно, что тангенс угла, образуемого
касательной к кривой в данной точке с
положительным направлением оси абсцисс,
есть первая производная
;
следовательно
.
(9.2)
Выразим первую производную — в функции прямоугольных координат x, у; для этого дифференцируем уравнение (9.1) и находим;
.
(9.3)
Сопоставляя выражения производной через геодезическую широту и прямоугольные координаты х, у, на основании (9.2) и (9.3) находим:
.
(9.4)
Уравнение (9.4) дает выражение для геодезической широты как функции прямоугольных координат х, у.
Чтобы найти обратную зависимость, т. е. чтобы выразить х и у как функции геодезической широты В, вспомним, что
;
(лекц №1, ф-ла 1.7)
на основании (9.4) напишем:
.
(9.5)
и
.
(9.6)
Перепишем (9.1), заменив у согласно уравнению (9.6), получим:
.
Решая это уравнение относительно х, находим его выражение в функции геодезической широты, в которое в качестве параметров входят размеры эллипсоида:
откуда окончательно:
.
(9.7)
Для нахождения у подставляем в уравнение (9.6) найденное значение х согласно (9.7). Получим окончательно:
.
(9.8)
Из рис. 9.1 видно, что абсцисса точки М
х = ОМ1 =МС
в то же время является радиусом r
параллели, проходящей через точку М
и имеющей широту В. Следовательно,
.
(9.9)
2. Связь между геодезической широтой в и геоцентрической широтой ф.
Из рис.9.2 легко находим выражение для геоцентрической широты в функции прямоугольных координат х и у:
Рис. 9.2
.
(9.10)
На основании же формулы (9.5) имеем:
следовательно
tg Ф = tg В (1 — е2). (9.11)
Найдем выражение для разности геодезической и геоцентрической широт (В – Ф).
Из формулы (9.11) имеем:
tg
B
— tg
Ф = е2
tg
В,
=>
, =>
sin(B-Ф)
= e2
sinBcosФ.
(9.12)
Полученная формула еще не пригодна для практического употребления, так как => sin(B-Ф) выражается в функции В и Ф. Однако вследствие незначительности разности (B-Ф), не превышающей, как увидим далее, 11',8, можно в правой части уравнения (9.12) cosФ заменить через cosВ. Рассмотрим, какая погрешность будет допущена при такой замене. Для этого (9.12) перепишем так:
sin(B-Ф) = e2 sinBcos[B- (B - Ф)].
Раскладывая cos[B- (B - Ф)] по строке Тейлора, получим:
sin (В — Ф) = е2 sin В [cos В + (В — Ф) sin В],
sin (В — Ф) =е2 sin В cos В + е 2 (В — Ф)sin2 B.
Второй член в правой части полученного выражения представляет собой малую величину порядка е4 [величина (В — Ф) является согласно формуле (9.12) малой величиной порядка е2 и умножается еще на е2]. Поэтому, если в правой части уравнения (9.12) заменим cos Ф через cos В, то пренебрежем членами порядка е4. С этой точностью
.
Раскладывая sin(B-Ф) в ряд и ограничиваясь первым членом, окончательно получим приближенную формулу:
,
(9.13)
допустив снова при этом погрешность порядка е4. Нетрудно видеть, что максимальное значение (В— Ф)" будет при В = 45°. В этом случае (В— Ф)' = 11',8.
Точная формула для (В— Ф) имеет следующий вид:
(9.14)