18

Л№5. ТЕМА№3: ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА — КРЮГЕРА

Поверхность эллипсоида или шара не может быть развернута в плоскости без разрывов и складок, поэтому изображение ее на карте может быть только условным с теми или иными искажениями. Условный способ изображения земной поверхности на плоскости, при котором стремятся удовлетворить тем или иным требованиям, называется картографической проекцией. Условия для изображения земной поверхности на плоскости могут быть самые разнообразные, поэтому и картографических проекций можно создать бесчисленное множество.

Однако все картографические проекции можно классифицировать по двум признакам: по характеру искажений и по виду сетки меридианов и параллелей.

По первому признаку (кроме рассмотренных ранее) проекции делятся на конформные, эквивалентные и произвольные.

Конформными, или равноугольными, проекциями называются такие, в которых сохраняется равенство соответствующих углов на проекции и на земной поверхности, т.е. бесконечно малые контуры на земной поверхности изображаются на проекции подобными им бесконечно малыми контурами.

Эквивалентные проекции сохраняют постоянное отношение площадей на карте к соответствующим площадям на земной поверхности. В частном случае проекций, в которых сохраняется равенство соответствующих площадей на карте и на земной поверхности, называются равновеликими.

Произвольные проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни постоянного соотношения площадей. Однако, несмотря на это, произвольные проекции применяются довольно часто. Дело в том, что выбором тех или иных условий для создаваемой произвольной проекции можно добиться того, что на определенном месте картографируемой территории искажения углов в ней будут меньше, чем в эквивалентной, а искажения площадей меньше, чем в конформных проекциях на эту же территорию.

Из классификации по второму признаку — по способу построения — укажем четыре основных типа проекций: перспективные, зенитальные (иначе азимутальные), конические и цилиндрические.

Перспективные проекции. В этих проекциях все точки с поверхности эллипсоида (шара) проектируются лучами, выходящими из одной точки («точки глаза»), на картинную плоскость. Расстояние «точки глаза» и картинной плоскости от шара (эллипсоида) может быть каким угодно.

3енитальные (азимутальные) проекции. В этих проекциях точки с поверхности шара переносятся по определенным правилам на картинную плоскость, касающуюся шара в какой-либо точке его поверхности.

Так как в перспективных проекциях картинная плоскость может находиться на любом расстоянии от шара, а следовательно, и касаться его поверхности, то зенитальные проекции имеют сходство с перспективными. Разница в том, что переход с поверхности шара на картинную плоскость в зенитальных проекциях делается вообще не по правилам перспективы. Если же применить в этих проекциях метод перспективы, то они совпадут с проекциями перспективными.

Конические и цилиндрические проекции. Эти проекции получили такие названия потому, что в них перенос точек с поверхности эллипсоида (шара) на плоскость, осуществляемый по определенным правилам, зависящим от свойств проекций (конформные, эквивалентные), можно представить геометрически, если вообразить, что сначала делается переход с эллипсоида на конус или цилиндр (касательный к эллипсоиду или секущий), а затем поверхности их разрезаются по образующим и развертываются на плоскость.

Такое геометрическое представление создания этих проекций и применим в дальнейшем.

Прежде чем перейти к характеристике отдельных проекций, разберем вопрос масштабов и искажений, общий для всех проекций.

Известно, что масштабом называется отношение длины линии на карте к соответствующей ей длине линии (горизонтальной проекции ее) на местности (на поверхности эллипсоида).

Масштаб, который взят в основу составления карты и в котором изобразились бы на карте любые линии на земной поверхности, если бы на ней не было искажений, называется главным масштабом. Этот масштаб подписывают на всякой карте.

Так как поверхность эллипсоида не может быть развернута на плоскости без искажений, то и любая линия на поверхности эллипсоида не может быть в картографической проекции уменьшена в одно и то же постоянное число раз. Следовательно, один и тот же главный масштаб не может быть сохранен на всей карте. Этот масштаб в картографических проекциях обыкновенно сохраняется только по одной или нескольким линиям. По всем остальным направлениям масштабы отличаются от главного и крупнее или мельче него. Такие масштабы называются частными. Все эти понятия более подробно будут рассмотрены в курсе картографии. А сейчас рассмотрим подробно прекецию и масштаб Гаусса-Крюгера.

1. Общие сведения о проекции Гаусса — Крюгера

Геодезические измерения проводятся на земной поверхности, т. е. на поверхности эллипсоида, но обработка результатов этих измерений на эллипсоидальной поверхности была бы очень сложна, поэтому пользоваться эллипсоидальными координатами (широтами и долготами) пунктов триангуляции или пунктов аналитических сетей для обоснования съемок было бы очень неудобно. Вычисления ведут в системе плоских прямоугольных координат в наиболее подходящей для этого картографической проекции и получают координаты пунктов триангуляции 2 класса и ниже.

Понятно, что если для исходных пунктов, например для пунктов триангуляции 1 класса, известны широты и долготы, то прежде всего нужно эти эллипсоидальные координаты, а также все измеренные на местности линии, углы или направления перенести на плоскость по соответствующим проекции правилам, а затем уже можно делать дальнейшие вычисления, пользуясь формулами плоской тригонометрии.

В настоящее время наиболее подходящей для обработки геодезических измерений признана прямоугольная, конформная проекция Гаусса.

Теоретическое обоснование этой проекции дано Гауссом (1825 г.) в его работе, решившей общую задачу изображения одной данной поверхности на другой данной поверхности с сохранением подобия в бесконечно малых частях, т. е. с соблюдением конформности изображения. Однако эта общая теория долгое время, вплоть до 1917 г., не получала в геодезии должного применения. Только после работы Л. Крюгера, опубликованной в 1912 г., в которой он применил общую теорию Гаусса к конкретной задаче конформного изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости и дал формулы для практических вычислений, эта проекция стала применяться во многих странах.

Так как работа Л. Крюгера имела очень большое значение для практического применения теории Гаусса, то полученную проекцию стали называть проекцией Гаусса — Крюгера.

Применяя проекцию Гаусса — Крюгера, поверхность земного эллипсоида делят меридианами, отстоящими один от другого на 6° по долготе (иногда на 3°), на двуугольники, называемые зонами. Зоны совпадают с колоннами листов международной карты масштаба 1: 1 000 000 и долготы средних меридианов зон, называемых осевыми, рассчитывают по формуле

L₀ = 6°n — 3°,

где n — целые числа 1, 2, 3 и т. д. Так, в 1-й зоне осевой меридиан имеет долготу L₁ = 3°, во второй зоне L₂ = 9° и т. д.

В каждой такой зоне переход с поверхности эллипсоида на проекцию делается самостоятельно, но по одним и тем же правилам. Поэтому, несмотря на то, что каждая зона в проекции представляет собой как бы отдельную карту, положение всякой точки на земной поверхности определяется аналитически однообразным способом.

Благодаря введению зон, искажения в проекции Гаусса — Крюгера, зависящие, как увидим далее, от удаления точек от среднего меридиана карты, будут небольшими и просто и точно учитываемыми. Это обстоятельство имеет очень большое значение, так как в проекции осуществляется перенос на плоскость с числовым выражением данных точных геодезических измерений.

Перенос точек, заданных широтами и долготами с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, сделаем в такой последовательности: сначала от широт и долгот перейдем к прямоугольным эллипсоидальным координатам, а затем от них, при условии конформного изображения, к прямоугольным плоским. Одновременно выведем формулу и для сближения меридианов.

Заметим, что прямоугольные плоские (Декартовы) координаты точек в проекции Гаусса — Крюгера кратко называют «координаты Гаусса — Крюгера».