7

Л №4. Тема № 2: определение координат геодезических пунктов

1. Понятие о взаимных нормальных сечениях и геодезической линии

На поверхности эллипсоида имеем две точки: точку А с широтой В_А и точку С с широтой В_С причем B_С > В_А , т. е. точка С расположена севернее точки А (рис. 1.1). Докажем, что нормаль АN_A в точке А и нормаль CN_C в точке С пересекают малую ось в различных точках.

Рис. 1.1

В плоскости меридиана точки А отрезок ОА₁ от центра эллипса до основания перпендикуляра АА₁, опущенного из точки А на малую ось, согласно (9.8: )), равен

В прямоугольном треугольнике N_AAA₁, в соответствии с (10.5: ) имеем

.

Отрезок ON_A , т. е. расстояние от центра меридианного эллипса до точки пересечения нормали в точке А с малой осью эллипса, будет равен

Сделав аналогичный вывод для отрезка ON_C (в плоскости меридиана точки С), получим:

Так как B_С > В_А, то ON_C не равно ON_A и ON_С > ON_А . Что и требовалось доказать.

Теперь можно сделать следующие выводы:

1) нормали в различных точках на поверхности эллипсоида, не лежащих на одной и той же параллели, пересекают малую ось эллипсоида в различных точках, при этом чем севернее расположена точка, тем далее от центра эллипса будет это пересечение;

2) плоскость, проходящая через нормаль в точке А и через точку С, не совпадает с плоскостью, проходящей через нормаль в точке С и точку А. Первая плоскость пересекает поверхность эллипсоида по нормальному сечению АаС, а вторая по нормальному сечению СсА. Следовательно, между двумя точками на поверхности эллипсоида проходят два нормальных сечения, называемые взаимными нормальными сечениями. При этом сечение АаС называется прямым нормальным сечением в точке А, а сечение АсС — обратным нормальным сечением в точке А.

Соответственно в точке С имеем: СсА — прямое и СаА — обратное нормальные сечения.

Если начальная точка линии находится (на рис. 1.1 точка А) южнее конечной, то прямое нормальное сечение в ней располагается южнее обратного.

По определению прямого нормального сечения видно, что для получения его между двумя точками на земной поверхности нужно установить теодолит в начальной точке и, приведя его ось вращения в совпадение с нормалью, сделать визирование на конечную точку. Вехи, установленные в полученной визирной плоскости, обозначают прямое нормальное сечение.

Таким образом, наблюдения на каждом триангуляционном пункте делают по направлениям прямых нормальных сечений. Поэтому на каждой стороне треугольников триангуляции прямое и обратное наблюдения делают по различным на местности направлениям, угол между которыми равен углу между взаимными нормальными сечениями. Этот угол, обозначаемый через Δ, может быть вычислен по формуле

,

в которой σ — угол, образуемый нормалью в начальной точке линии и прямой между точкой пересечения этой нормали с малой осью эллипсоида и конечной точкой линии;

А — азимут прямого нормального сечения в начальной точке;

В — широта начальной точки линии.

Величина угла Δ малая и зависит от длины линии. Так, при расстоянии между конечными точками линии в 20 км Δ = 0",002, при расстоянии 30 км Δ = 0",004. Поэтому при длинах сторон до 30 км, а практически в триангуляции 2 класса и ниже, с двойственностью нормальных сечений не считаются и принимают оба взаимные нормальные сечения сливающимися и представляющими одну кривую линию.

В триангуляции 1 класса, где пренебрегать двойственностью нормальных сечений нельзя, в измеренные направления вводят поправки, в результате чего от прямых нормальных сечений пере- ходят к геодезическим линиям.

Рис. 1.2

Геодезическая линия — это кривая, являющаяся кратчайшим расстоянием между двумя точками на поверхности эллипсоида. Расположение ее относительно взаимных нормальных сечений схематически показано на рис. 1.2. Геодезическая линия у своих конечных точек А и С располагается ближе к прямым нормальным сечениям АаС и АсС в этих точках и составляет в них с этими нормальными сечениями угол, приблизительно равный .