2. Решение малых сферических и сфероидических треугольников

Для начала рассмотрим общие сведения.

После того, как получены окончательные значения измеренных направлений или углов на поверхности эллипсоида, переходят к решению треугольников. Задача заключается в последовательном вычислении длин сторон треугольников триангуляции, причем известными являются одна сторона и углы в каждом треугольнике.

Строго говоря, треугольники триангуляции являются сфероидическими или эллипсоидальными треугольниками, поскольку они образованы на поверхности эллипсоида. На практике обычно приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40 — 50 км и в редких случаях достигают до 70 — 80 км. Вследствие малой величины сжатия земного эллипсоида различие в элементах сфероидических и сферических треугольников триангуляции (соответственно подобранного радиуса) является малым и, как увидим далее, практически пренебрегаемым. Таким образом, вычисление треугольников триангуляции сводится к решению сферических треугольников. Если решать треугольники по обычным формулам сферической тригонометрии, то стороны необходимо выражать в частях радиуса; но это неудобно, так как в практических целях стороны необходимо иметь в метрах. Поэтому решение треугольников триангуляции выполняют особыми методами, пользуясь так называемой теоремой Лежандра или по способу аддитаментов.

2.1. Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

Пояс земного эллипсоида шириной в 200 км (приблизительно 2° по широте) можно принимать за шаровой пояс с радиусом, равным среднему радиусу кривизны R для средней параллели пояса. Стороны треугольников триангуляции редко бывают больше 60 км, а в большинстве случаев они значительно короче, поэтому эллипсоидальные треугольники триангуляции можно считать сферическими с углами, равными измеренным на местности, и решать эти треугольники по формулам сферической тригонометрии. Однако эту задачу можно еще упростить и решать треугольники как плоские, применив теорему Лежандра.

Пусть АВС (рис. 2.1) — сферический треугольник, стороны которого в линейных единицах обозначим через а b, c. По сторонам а, b, c построим плоский треугольник А₁В₁С₁ (рис. 2.2); углы сферического треугольника обозначим, соответственно через А, В, С, а углы плоского — через А₁, В₁, С₁.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Поставим задачу найти разности углов А — А₁ , В — В₁ , С — С₁. Зная эти разности, мы сможем от сферических треугольников переходить к плоским, имеющим те же значения длин сторон и, таким образом, производить решение треугольников, применяя формулы прямолинейной тригонометрии:

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический треугольник. Тогда, применяя формулу косинуса стороны для сферического треугольника АВС, напишем:

, (2.1)

Как известно из сферической тригонометрии, сумма углов в сферическом треугольнике больше 180° на величину, называемую «сферический избыток» и обозначаемую через ε.

Итак, мы имеем сферический треугольник АВС с углами А, В и С и сторонами а, b и c на шаре радиусом R. Сферический избыток этого треугольника определяется формулой

(2.2)

где Р — площадь плоского треугольника А₁В₁С₁, имеющего такие же стороны, как сферический треугольник АВС.

По теореме Лежандра малый сферический треугольник можно решать как плоский, стороны которого соответственно равны сторонам сферического треугольника, а углы равны углам сферического треугольника, уменьшенным каждый на 1/3 сферического избытка этого треугольника. Следовательно, применяя теорему Лежандра, имеем:

Площадь треугольника, входящую в формулу (2.2), принято вычислять по известной формуле

,

тогда для вычисления сферического избытка будем иметь формулу

По этой формуле сферический избыток вычисляют при длинах сторон треугольника больше 90 км. При сторонах короче 90 км можно ограничиться одним первым ее членом и, кроме того, вместо плоского угла А₁ взять измеренный угол А. Тогда получим для вычисления сферического избытка формулу, которой обыкновенно и пользуются при вычислениях в триангуляции

.

Обозначая, как принято, величину, через через f, формулу для ε'' перепишем в окончательном виде

. (2.3)

Величина f приводится в таблицах по аргументу широты. Сферические избытки треугольников вычисляют одновременно с предварительным решением треугольников при вычислении поправок направлений за центрировку и редукцию.

При логарифмическом вычислении сферического избытка величина выбирается из специальной таблички, которая приведена в «Таблицах для вычисления геодезических координат. С этим обозначением формула для вычисления сферического избытка примет вид как в (2.2).

При решении треугольников триангуляции II класса и ниже необходимость учета поправочных членов как в теореме Лежандра, так и при вычислении отпадает.

Для общей ориентировки рассмотрим числовые значения сферических избытков при различных длинах сторон (для равносторонних треугольников):

при длине сторон в 5 км ε ≈ 0,07,

10 ε ≈ 0,25,

20 ε ≈ 1,0,

30 ε ≈ 2,0,

60 ε ≈ 8,0.

Вычисление сферического избытка треугольников производится при помощи четырехзначных или пятизначных таблиц логарифмов, обычно одновременно с предварительным решением треугольников.

В табл. 2.1 (прим1_Л4) приводится пример решения малого сферического треугольника по теореме Лежандра.