2.2. Решение треугольников по способу аддитаментов.

Сохраняя прежние обозначения для сферического треугольника ABC имеем:

.

Раскладывая и в ряд и ограничиваясь первыми 2-мя членами разложения, будем иметь

или в логарифмическом виде:

(2.4)

Учитывая, что при 1 > x > -1

lg(1 + x) = μ x - μ +…,

где μ – переходный модуль от натуральных к десятичным логарифмам.

Напишем:

. (2.5)

Величины называются аддитаментами и обозначаются соответственно A_b, A_a.

Далее обозначим:

(2.6), (2,7)

Пусть имеем цепь треугольников рис. 2.3, тогда

Рис. 2.3

. (2.8)

Если в логарифм исходной стороны a ввести поправку - A_a, т.е. вычислить lg a΄=lg a - A_a и с этим новым значением a΄ исходной стороны вычислить стороны треугольников, рассматривая их сферические углы как углы плоских треугольников, то получим:

. (2.9)

Отсюда вытекает следующий порядок вычислений сторон сферических треугольников по способу аддитаментов:

1) из логарифма исходной стороны вычитается ее аддитамент и таким образом вычисляется 1ga',

2) с исправленным значением логарифма исходной стороны решаются треугольники как плоские без изменений сферических углов, т. е. определяются lg b', lg c', lg d';

3) вычисленные значения lg b', lg c', lg d' исправляют соответственными аддитаментами по формулам (2.9) и получают искомые значения сторон треугольников триангуляции.

Радиус шара, необходимый для вычисления аддитаментов, теоретически должен иметь свое, значение для каждого треугольника, а именно: он должен быть равен среднему радиусу кривизны для средней широты треугольника. Однако практически при вычислении треугольников по способу аддитаментов достаточно получить радиус для некоторой средней точки триангуляции, расстояние которой от крайних треугольников не должно превышать некоторого предела, зависящего от точности вычислений. Найдем это расстояние.

Определим изменение аддитамента в зависимости от изменения R:

.

Но

Поставив условие, чтобы ошибка в аддитаменте, обусловленная неточностью принятой широты, не превышала 0,5 единицы 8 знака логарифма (т.е. ), и положив, что s =50 км (А_s=45·10^-7) получим:

ΔB ≤ 4°48΄.

Следовательно, составив таблицу аддитаментов для какой-либо широты, средней для данной триангуляции, мы можем пользоваться этой таблицей для решения треугольников, отстоящих на 5° по широте к северу и югу от точки с данной широтой. Другими словами, в пределах пояса, ограниченного параллелями, шириной в 1000 км, мы можем не считаться с изменением R₁, если только аддитаменты вычислены для средней широты взятого пояса.

Из выражения

следует, что

.

В семизначных логарифмических таблицах на каждой странице внизу приводятся величины:

где А_x - аддитамент аргумента х, выраженного в секундах, следовательно,

.

Таким образом, если стороны треугольников выразить в угловой мере, то аддитаменты можно вычислять, пользуясь указанными логарифмическими таблицами.

Рассмотрим пример решения треугольника по способу аддитаментов.

ПРИМЕР вычисления аддитаментов.

B_m = 47°49΄

Элементы формулы	Aa	Ab	Ac
	6.85 963	6.85 963	6.85 963
	6.39 032	6.39 032	6.39 032
2 lgs	9.30 250	9.18 172	9.33 984
lg As	2.55 245	2.43 167	2.58 979
As	357	270	389