Общая схема проведения дисперсионного анализа. Критерий f- Фишера.
Общая схема проведения дисперсионного анализа соответствует общепринятой схеме проверки любой гипотезы.
На
первом этапе выдвигаются две гипотезы.
В качестве нулевой гипотезы выдвигается
предположение , что все m
генеральных
средних равны между собой , то есть
:
Данная постановка нулевой гипотезы
соответствует особенностям распределения
используемых критериев, а также тому,
что, как правило, исследователь
изначально верит в то, что между
вариантами различия присутствуют. В
качестве альтернативной гипотезы
выдвигается предположение, что хотя бы
две генеральных средних не равны между
собой ;
:
В качестве основного критерия при дисперсионном анализе используется параметрический критерий F-Фишера. Параметрический критерий F-Фишера выдвигает два условия к выборкам , на основе которых он рассчитывается . Первое условие состоит в том , что распределения по выборкам должны соответствовать нормальному. Второе условие предполагает равенство дисперсий по выборкам.. Исследования в области дисперсионного анализа показали, что нарушение нормальности сказывается на возможности использования критерия F-Фишера лишь в том случае , если нарушается требование равенства дисперсий по выборкам. Особенно нежелательно использование критерия F-Фишера в том случае , если к отсутствию нормальности распределения, и равенства дисперсий добавляется неравенство численности выборок, при этом большей дисперсии соответствует меньшая численность выборки.
Фактическое
значение критерия определяется по
формуле
(
при условии , что
).
Если в ходе расчетов дисперсий
оказалось , что
критерий F-Фишера
не рассчитывается , а сразу признается
справедливой нулевая гипотеза о
равенстве генеральных средних.. Такой
вывод формируется исходя из следующих
соображений. Источником межгрупповой
дисперсии ( вспомним закон разложения
вариации ) являются различия между
средними. Если речь едет о постановке
эксперимента, то источником межгрупповой
вариации ( дисперсии ) является влияние
фактора . Источником внутригрупповой
вариации, а , следовательно, и дисперсии,
является игра случая ( колеблемость
признака внутри выборки ). Если
,
то это означает, что эффект фактора
лежит в пределах игры случая, а,
следовательно, различия между средними
то же носят несущественный характер.
Для
получения необходимых дисперсий
вначале следует разложить общий объем
вариации на составные части в
соответствии с известным законом:
. Поскольку речь идет о выборочных
дисперсиях
, для их получения необходимо
соответствующие объемы вариации
разделить на их степени свободы – для
межгрупповой вариации : df
(
)
= m-1
, где m
– число средних ;для внутригрупповой
вариации df
(
)=
(N-1)-(m-1),
где N
– общее число наблюдений по всем
выборкам, то есть
а
.
Как уже говорилось выше, далее следует
сравнить полученные дисперсии на
качественном уровне. Если внутригрупповая
дисперсия оказалась больше или равной
внутригрупповой следует сразу принять
нулевую гипотезу о равенстве средних,
если же
надо рассчитать фактическое значение
критерия F-
Фишера и сравнить его с табличным .
Табличное значение критерия зависит
от уровня значимости и от степеней
свободы df
(
)
= m-1
и df
(
)=
(N-1)-(m-1),
Сравнение фактического значения
критерия с табличным позволяет
сформулировать соответствующие
выводы.
Вопросы для повторения
16-1.Каково назначение дисперсионного анализа ?
16-2. Каково содержание нулевой гипотезы при дисперсионном анализе ?
16-3. Каково содержание альтернативной гипотезы при дисперсионном анализе ?
16-4. Какой параметрический критерий используется при дисперсионном анализе ?
16-5. Какие дисперсии используются для расчета фактического значения критерия F –Фишера ?
16-6. В каком случае без расчета фактического значения критерия F –Фишера можно принять нулевую гипотезу?
16-7. От чего зависит табличное значение критерия F –Фишера ?
Резюме
В основе дисперсионного анализа лежит степень различий между средними по группам ( по вариантам опыта ). При одной степени эти различия следует отнести к игре случая, при другой они таковы, что к случайным их с большой долей вероятности отнести нельзя. Оценка степени этих различий производится на основе критерия F –Фишера
Модульная единица 2. Конкретизация результатов дисперсионного анализа. Модели дисперсионного анализа
Цель и задачи изучения этой модульной единицы состоят в освоении приемов., позволяющих с одной стороны привести дисперсионный анализ к его логическому завершению, а с другой , с учетом особенностей конкретной выборочной информации, внести в стандартную схему проведения дисперсионного анализа необходимые модификации