1.2. Определение хроматической аберрации линзы

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомление с явлениями искажений изображения в линзах (аберрациями) и исследование продольной хроматической аберрации собирающей линзы.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Линза или система линз должна давать отчетливое и правильное изображение предмета. Для этого необходимо соблюдение следующих основных условий (условий Максвелла):

1. Все лучи, исходящие из любой точки А предмета, должны сходиться после преломления в линзе в одной и той же точке изобра­жения. Такой пучок света называется стигматическим, а само условие  условием стигматичности.

2. Bсе точки изображения, полученного от плоского предмета, перпендикулярного к оптической оси линзы, должны лежать также в плоскости, перпендикулярной к оси линзы.

З. Масштаб изображения (увеличение) должен быть один и тот же во всех частях изображения (условие постоянства масштаба).

Эти условия должны выполняться для лучей всех длин волн, пропускаемых линзой. Отступление от перечисленных условий приводит к появлению погрешностей линзы или аберраций, ухудшающих качество изображения.

Аберрации оптических систем проявляются в том, что оптические изображения не вполне отчетливы, не точно соответствуют объектам или оказываются окрашенными. Наиболее распространены сферическая и хроматическая аберрации. При сферической аберрации испущенные одной точкой объекта световые лучи, прошедшие через точки, расположенные вблизи главной оптической оси системы, и лучи, прошедшие через точки, отдаленные от главной оптической оси системы, не собираются в одну точку (расплывчатое светлое пятнышко).

Хроматическая аберрация связана с зависимостью показателя преломления оптических сред от длины световой волны.

Напомним, что все среды (за исключением абсолютного вакуума) обладают дисперсией, т.е. зависимостью показателя преломления света от длины волны (или частоты)

, (1)

где  длина световой волны в вакууме.

На рис.1 представлен нормальный ход дисперсии, при котором с уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается со все возрастающей скоростью.

Поэтому белый свет от точечного источника S (рис. 2), проходя через линзу, испытывает дисперсию в веществе линзы. При этом корот­коволновые лучи - фиолетовые, для которых n_Ф (показатель преломления) наибольший, будут собираться в точке S_Ф. Красные лучи испытывают меньшее преломление и собираются в точке S_КР.

Е сли поместить экран (перпендикулярно к главной оптической оси линзы) в точку S_КР, то изображение будет окружено сине-фиолетовым ореолом не­сфокусированных лучей меньшей длины волны, если - в точку S_Ф, то вокруг изображения будет ореол красноватого цвета, образованный несфокусированными лучами большей длины волны.

Если на линзу падает пучок белых лучей, параллельных главной оптической оси линзы, то фиолетовые лучи соберутся ближе к линзе, чем красные, и, следовательно, фокусное расстояние линзы для фиоле­товых лучей F_Ф будет меньше, чем для красных F_КР.

К тому же выводу придем и аналитически, если воспользуемся зависимостью фокусного расстояния линзы от радиусов ее преломляющих поверхностей и и показателя преломления n вещества линзы.

Для красных и фиолетовых лучей имеем соответственно:

, (2)

. (3)

Разделив (2) на (3), получим:

. (4)

Так как n_КР < n_Ф (см.рис. 1), то F_Ф< F_КР .

Разность является мерой продольной хроматической аберрации линзы (зависит от сорта стекла, из которого сделана линза, она больше для той линзы, которая сделана из стекла с большей дисперсией).

Устранить хроматическую аберрацию можно, лишь применяя линзу, состоящую в простейшем случае из двух линз - одной собирающей и одной рассеивающей.

Собирающая линза делается из легкого стекла (крона) с показа­телем преломления n = 1,5, а рассеивающая - из тяжелого стекла (флинта) с n = 1,75. Обе линзы склеиваются канадским бальзамом, имеющим показатель преломления n = 1,48.

При входе белого луча в линзу из крона (см.рис.3) фиолетовый луч отклоняется к оптической оси линзы сильнее красного, а при входе во вторую линзу из флинта фиолетовый луч отклоняется также сильнее красного, но в противоположную сторону, то есть от главной оптической оси линзы.

В результате, фиолетовый и красный лучи соберутся в общем фо­кусе F, и хроматическая аберрация может быть устранена.

Проделаем расчет ахроматизированной линзы (объектива) с заданной оптической силой Ф (оптическая сила линзы - это величина, обратная фокусному расстоянию линзы, т.е. и измеряется в диоптриях: 1 диоптрия (дптр) = 1 м^-1). Пусть ахроматизированная линза составлена из двух тонких линз, оптические силы Ф₁ и Ф₂ которых не известны:

, (5)

, (6)

где R  0 для выпуклых поверхностей и R  0 для вогнутых. Оптическая сила Ф системы тонких линз, сложенных вплотную, равна

. (7)

Обычно добиваются совпадения изображений лучей двух длин волн:

. (8)

Для визуальных приборов в качестве таких волн выбирают лучи света, соответствующие двум линиям (F и C) спектра водорода, для которых = 4861 , = 6563 . Цвета этих лучей - красный и зелено-голубой являются дополнительными и при наложении формируют белый свет. Подставляя формулы (5) и (6) в формулу (7), а результат в уравнение (8), получим

Тогда после преобразований

, (9)

где n_F и n_C - показатели преломления лучей линий F и С.

При расчете оптической силы линзы часто используют показатель преломления n_D для желтой линии натрия (D - линии) с длиной волны _D = 5893 . Тогда формулы (4) и (5) принимают вид:

, (10)

. (11)

Разделив уравнение (9) на произведение Ф₁Ф₂, составленное из формул (10) и (11), получим:

,

или , (12)

где и  коэффициенты дисперсии стекол тонких линз. Так как знаки коэффициентов v₁ и v₂ - одинаковые, то из условия ахроматизации (12) следует, что знаки величин Ф₁ и Ф₂ разные, т.е. ахроматизация оптической системы (составной линзы) достигается соединением собирающей и рассеивающей тонких линз.

Решая систему уравнений (7) и (12), получим формулы для вычислений оптических сил линз:

, (13)

. (14)

После вычисления Ф₁ и Ф₂ найдем радиусы кривизны поверхностей линз, решая систему уравнений (10) и (11). Удобно положить R₄ = . Тогда из уравнения (11) получим

или . (15)

Внутренние поверхности линз склеены, т.е. . Так как одна из поверхностей выпуклая, а другая  вогнутая, то знаки R₂ и R₃ противоположны: R₂ = R₃. С учетом формулы (15) можно записать

. (15)

Подставляя формулу (15) в формулу (10), найдем радиус кривизны R₁:

или . (16)

Итак, при расчете ахроматического объектива с оптической силой Ф, составленного из двух тонких линз, сначала по формулам (13) и (14) вычисляют оптические силы Ф₁ и Ф₂ этих линз, а затем по формулам (15), (15) и (16) определяют радиусы кривизны поверхностей линз.

Объективы зрительных труб, телескопов-рефракторов, фото-кино­аппаратуры, теле- и видеокамер и других оптических приборов пред­ставляют собой склеенные ахроматические линзы.

Следует особо подчеркнуть, что хроматическая аберрация может быть полностью устранена, если линзы заменить вогнутыми сферическими или (лучше) параболическими зеркалами; поэтому телескопы-рефлекторы свободны от хроматической аберрации.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка, состоящая из осветителя, линзы, набора светофильтров и экрана, собирается на оптической скамье длиной не менее 1 м и отсчетной шкалой с ценой деления 1 мм. Все указанные элементы установки крепятся в рейтерах, снабженных указателями для отсчета их положения на оптической скамье.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Поместите штатив с источником света на оптическую скамью так, чтобы риска штатива совпала с нулем шкалы, и закрепите его. При этом нить лампы, являющаяся в нашем эксперименте предметом, окажется на делении 14 см.

2. Установите линзу со встроенными светофильтрами на деление 20 см шкалы так, чтобы выпуклая сторона линзы была обращена к источ­нику света; против линзы установите красный светофильтр.

З. Установите экран на отметке 70 см.

4. Небольшим перемещением линзы добейтесь резкого изображения верхушек витков спирали лампы на экране и закрепите линзу.

5. Запишите в таблицу 1 значение d (расстояние от предмета до линзы), которое получите, если от значения деления, на котором находится линза, отнимите 14 см (см. п.1).

6. Ввиду того, что применяемая в работе линза имеет большую глубину резкости, перемещением экрана в сторону линзы найдите поло­жение, при котором изображение начинает размываться (передний край глубины резкости "а"). Заметьте это положение. Затем, отодвигая экран от линзы, найдите дальнее положение, при котором изображение нити перестает быть резким (дальний край глубины резкости “b”). Середина отрезка "ab” принимается за положение изображения. Вычитая из значения деления шкалы, соответствующего середине отрезка "ab”, значение деления шкалы, на котором находится линза, получите (расстояние от изображения до линзы для красных лучей). Занесите его в таблицу 1.

7. Не трогая линзу, установите фиолетовый светофильтр и выпол­ните действия п.6, учитывая, что полученное значение должно быть несколько меньше, чем , вследствие хроматической аберрации. Занесите в таблицу 1.

8. Устанавливая экран поочередно на деления 72, 74, 76, 78 см, выполните действия пп.3-7 и заполните таблицу 1. Если в каком-то опыте не будет выполняться условие  , этот опыт придется переделать более внимательно.

9. Выключите лампу.

Из формулы тонкой линзы

следует . (17)

Для каждого положения экрана по формуле (17) найдите фокусные расстояния и для красных и фиолетовых лучей и определите средние значения  F_КР  и  F_Ф . Занесите результаты вычислений в таблицу.

Таблица

№ измерений	d, см	fКР, см	fФ, см	FКР, см	Fф, см	Средние значения
						 FКР , см	 FФ , см
1
2
3
4
5

10. Рассчитайте полуширину доверительного интервала F для каждого среднего значения, т.е. найдите F_КР и F_Ф.

11. Определите величину хроматической аберрации и получите полуширину доверительного интервала этой величины по формуле:

.

12. Окончательный результат измерения хроматической аберрации следует записать в стандартной форме: .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте цель данной лабораторной работы.

2. Назовите виды аберраций.

3. Что такое хроматическая аберрация и как она устраняется?

4. Как устроены ахроматические объективы?

5. Дайте определение дисперсии.

6. Назовите условия Максвелла для обеспечения идеального изображения предмета в линзе.

7. Нарисуйте нормальный ход дисперсии.

8. Нарисуйте ход луча в собирающей линзе.

9. Нарисуйте ход луча в рассеивающей линзе.

10. Что такое фокусное расстояние линзы?

11. Чем тонкая линза отличается от реальной?

12. Что такое оптическая сила линзы?

13. Назовите единицу измерения оптической силы линзы.

14. Какова оптическая сила системы из собирающей и рассеивающей линз?

15. Какова мера продольной хроматической аберрации?

16. Запишите условие устранения хроматической аберрации.

17. Напишите формулу коэффициента дисперсии стекла тонкой линзы.

18. Какова методика расчета ахроматизированной линзы?

19. Опишите устройство лабораторной установки.

20. Что является источником света в данной установке?

21. Каков порядок выполнения лабораторной работы?

22. Из каких соображений в установке выбирается диаметр линзы?

23. Что будет, если диаметр линзы уменьшить?

24. Какие ошибки измерений учитываются в данной лабораторной работе?

25. Что такое абсолютная ошибка измерений?

26. Что такое относительная ошибка измерений?

27. Что такое доверительный интервал?

28. Что такое коэффициент Стьюдента?

29. Покажите связь между коэффициентом Стьюдента и коэффициентом надежности.

30. В каких единицах измеряется относительная ошибка измерений?

31. Каков стандартный вид записи конечного результата измерений физической величины?