6. Постановка транспортной задачи. Методы нахождения первого допустимого решения транспортной задачи

Симплекс-метод применим к любым задачам ЛП, так как является общим (универсальным) методом. Но на основе общих методов ЛП для отдельных типов задач могут быть предложены специальные приемы, например, особого внимания заслуживают методы решения транспортной задачи. Впервые она была сформулирована американским математиком Хичкоком. Применение симплекс-метода к решению транспортной задачи оказывается слишком громоздким.

Постановка транспортной задачи

Пусть в m пунктах производится определенное количество однородной продукции. Эту продукцию требуется доставить в n пунктов потребления. При этом количество производимой продукции в точности равно количеству потребляемой продукции. Стоимость перевозки единицы продукции из каждого пункта производства в каждый пункт потребления известна.

Требуется так распределить поставки продукции из пунктов производства к пунктам потребления, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Для составления математической модели этой задачи введем следующие обозначения:

m – число пунктов производства;

i – номер пункта производства ( );

n – число пунктов потребления;

j – номер пункта потребления ( );

a_i – количество единиц продукции, производимое в i-м пункте производства;

b_j – количество единиц продукции, которое необходимо доставить в j-й пункт потребления;

c_ij – стоимость перевозки единицы продукции от i-го пункта производства к j-му пункту потребления;

x_ij – количество единиц продукции, доставляемое из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.

Величины x_ij требуется определить.

Совокупность чисел x_ij называется планом перевозок груза, а матрица С = [c_ij] – матрицей транспортных издержек.

План перевозок груза называется допустимым, если числа x удовлетворяют следующим условиям:

(1.13)

в которых первые m равенств означают, что из каждого пункта производства вывозится весь произведенный продукт, а последние n равенств означают, что каждый пункт потребления полностью удовлетворяется.

Общая стоимость перевозок всей продукции равна

(1.14)

которая должна быть по условию задачи минимальной.

Решение транспортной задачи сводится к минимизации линейной функции F(x) (1.14) при ограничениях (1.13).

Условие разрешимости.

Теорема 1.10. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы произведенной продукции совпадали с общими суммарными потребностями потребителей:

(1.15)

Следствие. Из m+n уравнений в системе ограничений транспортной задачи одно (любое) уравнение можно отбросить, так как оно вытекает из остальных m+n–1 уравнений.

Действительно, если определены количество груза у всех отправителей и потребность всех потребителей, кроме одного, то спрос последнего легко устанавливается как разница между общим запасом и общей потребностью других потребителей. Поскольку модель транспортной задачи содержит m+n–1 независимых уравнений, любой ее невырожденный план включает m+n–1 переменных с положительным значением. Поэтому из mn возможных маршрутов перевозок в оптимальном плане транспортной задачи загружается не более m+n–1 маршрут.

Если план задачи включает меньше чем m+n–1 положительных переменных, то он называется вырожденным планом. О некоторых приемах, позволяющих избежать вырождения плана, будет сказано ниже. Опасность же возникновения цикла в транспортной задаче практически исключена.

Теорема 1.11. В транспортной задаче всегда существует оптимальный план, в котором число ненулевых компонент не будет превышать m+n-1.

П ри этом если исходные величины поставок a_i и b_j являются целыми числами, то и все переменные в оптимальном плане будут целыми величинами. Свойство целочисленности оказывается практически важным при планировании перевозок неделимых грузов.

Рассмотренная модель транспортной задачи, в которой количество производимой продукции равно количеству потребляемой продукции, называется закрытой моделью.

В экономических расчетах немалую роль играют и так называемые открытые модели, в которых равенство (1.15) не соблюдается. При этом возможны два случая: или количество производимой продукции больше потребности получателей, или, наоборот, спрос превышает предложение.

Если количество производимой продукции больше потребности получателей, то открытая транспортная задача формулируется следующим образом:

при условиях

Поскольку не весь произведенный груз будет направляться потребителям, первая группа ограничивающих условий имеет форму не уравнений, а неравенств, которые можно преобразовать в уравнения с помощью введения дополнительных неотрицательных переменных. Тогда вместо неравенств будем иметь систему уравнений

,

где – дополнительные переменные, обозначающие не используемую для перевозок часть произведенной продукции.

Эти дополнительные переменные удовлетворяют следующему условию:

Таким образом, в открытую транспортную задачу включается условный (фиктивный) потребитель, которому в качестве спроса приписывается разница между произведенным товаром и фактической потребностью в нем.

Как и в общей задаче ЛП, дополнительные переменные входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

Введением условного потребителя открытая модель преобразуется в закрытую модель и решается затем как обычная транспортная задача.

При решении открытой транспортной задачи с включением условного потребителя в оптимальном плане основные переменные покажут рациональные маршруты и объемы перевозок на них, а дополнительные переменные – неперевозимый остаток производимой продукции.

Другой вариант открытой транспортной задачи возникает тогда, когда спрос потребителей выше возможностей производителей. В этом случае задача формулируется следующим образом:

при условиях

Очевидно, что здесь дополнительные переменные должны вводиться во вторую группу ограничений. Это равнозначно включению в модель условного (фиктивного) производителя, у которого наличие продукта равно разнице между общим спросом и фактически произведенным продуктом. Вместе с условным производителем расширенная модель оказывается закрытой моделью, и к ней применяется один из методов решения транспортной задачи. Часть спроса, не обеспечиваемая производством товаров, в оптимальном плане будет отражена в переменных условного производителя.

Условия транспортной задачи обычно записываются в виде следующей таблицы: