2. Знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області , якщо:

а) ;

б) .

Розв’язання. Функція диференційовна скрізь. Тому найбільше та найменше значення вона приймає або в стаціонарних точках, або на межі замкненої області .

Знайдемо стаціонарні точки з системи:

–– стаціонарна точка.

а) належить області , . Знайдемо найбільше та найменше значення функції на межі області , тобто на колі . Якщо точка належить колу , то

,

причому функція визначена на відрізку .

Знайдемо стаціонарні точки функції :

.

При , .

Знайдемо значення функції на кінцях відрізка : , .

Отже, на колі функція набуває найбільшого значення 4 (при ) і найменшого 1 (при ), причому , .

Тому найбільше значення функції у замкненій області дорівнює 4, а найменше 0.

б) Точка не належить області .

Знайдемо найбільше та найменше значення функції на межі області .

Оскільки межа складається з чотирьох відрізків, то розв’яжемо вказану задачу на кожному з них.

.

Тоді .

Очевидно, що

, .

.

Тоді .

Очевидно, що

, .

. Тоді .

Очевидно, що , .

. Тоді .

Очевидно, що , .

Отже, найбільше значення функції в замкненій області дорівнює 52, а найменше дорівнює 1.

Оскільки і , то функція набуває свого найбільшого значення в точці , а найменшого –– в точці .

2. Серед всіх прямокутних паралелепіпедів об’ємом 1000 см³ знайти той, що має найменшу площу поверхні.

Розв’язання. Нехай довжина паралелепіпеда дорівнює см, а ширина –– см. Тоді його висота дорівнює см.

Площа поверхні дорівнює

, .

Знайдемо найбільше значення функції у першій чверті ( ):

, ,

, ,

, ,

, .

, . Отже, –– точка локального мінімуму.

(см²).

Для того, щоб перевірити, чи є точка точкою глобального мінімуму (тобто значення функції в точці є найбільшим значенням функції на всій області визначення), потрібно додатково дослідити поведінку функції на множині, яка є межею області визначення. Якщо область визначення необмежена, то потрібно дослідити поведінку функції для досить великих та . В якості межі І координатної чверті на евклідовій площині виступають додатні координатні промені осі та осі .

У точках цих променів функція не визначена, але якщо або , то .

Якщо або , то . Отже, точка –– точка глобального мінімуму. Отже, при об’ємі 1000см³ найменшу площу поверхні має куб з ребром 10см.

Завдання для самостійного розв’язування.

18. Дослідити на екстремум функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

18. Знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області .

1) , ;

2) , ;

3) , ;