Заняття 16

§ 5.4. Екстремум функції двох змінних. Найбільше та найменше значення функції двох змінних в замкненій області

Точка називається точкою локального мінімуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок з цього околу виконується умова .

Точка називається точкою локального максимуму функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок з цього околу виконується умова .

Точка, в якій всі частинні похідні перетворюються в нуль, називається стаціонарною точкою.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо - точка екстремуму диференційовної функції , то в цій точці виконуються умови :

Теорема (достатня умова екстремуму). Нехай — стаціонарна точка функції , причому в околі точки існують неперервні частинні похідні другого порядку цієї функції і

.

І. Якщо , то функція в точці має екстремум:

а) якщо , то — точка мінімуму;

б) якщо , то — точка максимуму.

ІІ. Якщо , то точка не є точкою екстремуму функції .

ІІІ. Якщо , то потрібне додаткове дослідження.

Дві останні теореми вказують алгоритм дослідження диференційовної функції двох змінних на екстремум:

1 крок. Знайти стаціонарні точки, як розв'язки системи

2 крок. У всіх стаціонарних точках перевірити виконання достатніх умов екстремуму.

Нехай — замкнена область, , — диференційовна (а отже і неперервна) функція. Тоді за теоремою Вейєрштрасса функція приймає в області своє найбільше та найменше значення. Точки, в яких функція набуває екстремальних значень, можуть бути як внутрішніми точками цієї області (в цьому випадку це будуть точки локального екстремуму), так і межовими точками.

Тому дослідження диференційовної функції на найбільше (найменше) значення функції в замкненій області доцільно проводити за наступним планом:

1. Знайти стаціонарні точки і обчислити значення функції в стаціонарних точках, які належать області (при цьому не обов’язково визначати, чи є стаціонарні точки точками екстремуму).

2. Дослідити функцію на найбільше (найменше) значення на межі .

3. Серед знайдених значень функції вибрати найбільше та найменше.

Приклади.

1. Дослідити на екстремум функції:

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання. а) Знайдемо стаціонарні точки із системи:

–– стаціонарна точка.

, ;

, ;

, .

. Отже, точка не є точкою екстремуму.

б) Знайдемо стаціонарні точки з системи:

Отже, –– стаціонарна точка.

, ;

, ;

, .

. Отже, –– точка екстремуму. Оскільки , то –– точка локального мінімуму.

в) Знайдемо стаціонарні точки:

–– стаціонарна точка.

, ;

, ;

, .

.

Вищевказана теорема не дає відповіді на питання чи є точка точкою екстремуму. Але легко бачити, що в довільному околі точки є точки, в яких функція набуває додатних значень (це довільні точки з І чверті) і точки, в яких функція набуває від’ємних значень (це довільні точки з ІІІ чверті). Отже, точка не є точкою екстремуму.