§ 5.2. Границя та неперервність функції багатьох змінних.

Точку називають границею послідовності точок , якщо

. (2)

Для того, щоб послідовність збігалася до точки , необхідно і достатньо, щоб

.

Число називають границею функції в точці , якщо для довільної послідовності точок , збіжної до , виконується рівність

.

У цьому випадку пишуть: .

Надалі у цьому розділі в основному розглядаються функції двох змінних і замість послідовності будемо писати .

Функцію називають неперервною в точці , якщо для довільної послідовності точок , збіжної до , має місце рівність

.

Функцію, яка неперервна у всіх точках деякої області, називають неперервною у цій області. Графіком такої функції є деяка поверхня.

Приклади.

1. Дослідити послідовність на збіжність:

а) ;

б)

Розв’язання:

а) Оскільки ; ; , то .

б) Оскільки послідовність не має границі, то і вся послідовність границі не має.

2. Дослідити чи існує границя функції в точці :

а) , ;

б) , .

Розв’язання.

а) Оскільки і , то .

б) Доведемо, що функція не має границі в точці . Для цього розглянемо дві послідовності і , які збігаються до точки , але послідовності та мають різні границі.

Нехай . Тоді

Нехай . Тоді

Оскільки , але , то дана функція не має границі в точці .

3. Дослідити функцію на неперервність:

а) ;

б) ;

Розв’язання.

а) Оскільки функції та неперервні на всій площині, то функція є неперервною у всіх точках площини за виключенням тих точок, де . У точці функція не визначена. Більше того, функція не має границі в точці . Справді, якщо , то і .

Якщо , то , але .

б) Функція неперервна на всій області свого визначення, тобто у всіх точках площини, для яких .

Точки площини, для яких виконується умова є точками розриву. Множина точок розриву складається з двох прямих: та .

Завдання для самостійного розв’язування.

12. Знайти границі (якщо вони існують) наступних послідовностей:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

12. Знайти границю (якщо вона існує) функції в точці:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

12. Дослідити функцію на неперервність та охарактеризувати множину точок розриву:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

§ 5.3. Частинні похідні. Повний диференціал. Диференційовність функції двох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.

Н ехай функція визначена у деякому околі точки . Розглянемо все можливі прирости для цієї точки. Приріст можна задати лише по змінній і дістанемо точку . Якщо надати приріст лише по змінній , то дістанемо точку .

якщо ця границя існує, то її називають частинною похідною функції по змінній х і символічно позначають одним з наступних способів:

або або .

Аналогічно означається частинна похідна функції по змінній у:

.

При знаходженні частинної похідної по змінній х від функції змінна у залишається постійною. Тому функція при цьому може трактуватися як функція від однієї змінної х: , а змінну y можна сприймати як деякий параметр. Тоді частинна похідна від функції по змінній х є звичайною похідною від функції . Аналогічно, обчислюючи частинну похідну по змінній у, змінну х потрібно вважати постійною.

Частинні похідні та теж є функціями двох змінних. Частинні похідні (якщо вони, звичайно, існують) від функцій та називають частинними похідними другого порядку. За означенням:

.

Похідні та називають мішаними похідними другого порядку. У випадку неперервності мішаних похідних, вони рівні між собою ( = ).

Аналогічно означаються частинні похідні вищих порядків.

Диференціалом функції називається сума добутків частинних похідних цієї функції на прирости відповідних незалежних змінних.

.

Оскільки , , то

.

Функцію називають диференційовною в точці , якщо її повний приріст у цій точці може бути представлений у вигляді :

,

де , і при .

Як і для функцій однієї змінної з диференційовності функції в деякій точці слідує неперервність цієї функції у цій точці. Для функції однієї змінної існування скінченної похідної було необхідною і достатньою умовою диференційовності цієї функції. Для функції двох змінних ситуація значно складніша. З існування скінченних частинних похідних та не слідує навіть неперервність функції і тому існування скінченних частинних похідних ще недостатньо для диференційовності функції двох зміннних. Проте, якщо функція в деякому околі точки має неперервні частинні похідні і , то функція диференційовна в точці .

Якщо функція диференційовна в точці , то для досить малих і правильна наближена рівність

Нехай функція визначена в околі точки , – деякий вектор, який утворює кут з додатним напрямом осі .

Похідною у напрямку, що визначається вектором називають границю (якщо вона існує)

.

Можна довести, що

.

Похідна характеризує швидкість зміни функції у напрямку вектора , який утворює кут з додатним напрямом осі Ох.

Градієнтом функції називають вектор з координатами

.

Градієнт функції в точці вказує напрям найшвидшої зміни функції у цій точці.

Приклади.

1. Знайти частинні похідні першого порядку:

а) ;

б) .

Розв’язання.

а) Вважаючи постійною, отримаємо:

.

Вважаючи постійною, отримаємо:

.

б) .

.

2. Знайти частинні похідні першого та другого порядків функції . Обчислити , .

Розв’язання.

, .

, ,

, .

, .

3. Знайти повний диференціал функції .

Розв’язання. Повний диференціал може бути записаний у вигляді

.

Оскільки і , то

.

4. Обчислити наближено , замінюючи повний приріст функції її повним диференціалом.

Розв’язання. Розглянемо функцію . Ця функція є диференційовною в околі точки , причому , , , , . Тому

,

де .

.

5. Знайти градієнт функції в точці .

Розв’язання.

.

.

, .

Отже, .

6. Вказати точки, в яких градієнт функції

співпадає з вектором .

Розв’язання.

.

тоді і тільки тоді, коли

Отже, існує чотири точки, в яких градієнт функції співпадає з вектором . Це точки , , , .

7. Знайти похідну функції в точці у напрямі вектора .

Розв’язання. Знайдемо орт вектора

.

Отже, вектор утворює з додатним напрямом осі кут такий, що , .

, ;

, .

Отже, .

Завдання для самостійного розв’язування.

15. Знайти частинні похідні першого порядку наступних функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

15. Знайти значення частинних похідних в точці .

1) , ; 2) , ;

3) , .

17. Знайти повний диференціал функції:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

18. Замінюючи повний приріст функції її повним диференціалом, обчислити наближене значення наступних виразів:

1) а) ; 2) ; 3) ; 4) .

18. Знайти градієнт функції в точці :

1) , ; 2) , .

18. Вказати точки, в яких градієнт функції збігається з вектором .

1) , ; 2) , .

18. Знайти похідну функції в точці у напрямі вектора .

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , .