Введем новую величину – энтальпию, которая является функцией состояния и характеризует полное теплосодержание газового потока:

I = Е + PV (18)

Тогда:

Q = I₂ – I₁ = I ( при Р = const ) (19)

Введем определение теплоемкости: теплоемкостью тела С называется отношение бесконечно малого количества тепла Q , полученного телом, к соответствующему приращению dT его температуры:

C = Q/dT (20)

Используя первый закон термодинамики, запишем:

С dT = dЕ+PdV (21)

Следует отметить, что для адиабатического процесса С = 0, для изотермического процесса С = ∞. Особое значение имеют теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении С_V и C_P.

При постоянном объеме

С_V =  Е/T_V (22)

Если же постоянно давление, то отношение dV/dT переходит в частную производную  V/T_P, так как величины Р, Т связаны уравнением состояния. Тогда формула ( 26) дает:

C_P = dЕ/dT+ PdV/dT= Е/T_V+ [ Е/V_T + P]  V/T_P (23)

Для разности теплоемкостей получаем

C_P - С_V = [ E/V_T + P]  V/T_P (24)

Уравнение Роберта Майера получается при использовании уравнения состояния Клапейрона (3), записанного для одного моля вещества и закона Джоуля, согласно которому внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры:

C_P - С_V = R (25)

Введем обозначение C_P/С_V = γ, тогда из первого закона термодинамики для адиабатического процесса получим уравнение Пуассона:

PV^γ = const (26)

Подробный вывод формул теплоемкости, коэффициентов теплопроводности, вязкости, уравнения адиабаты и пр. изложен в Методических указаниях по курсу «Перспективные методики расчета средств выведения» [2].

1.2. Основные критерии подобия в теплообмене и их физический смысл [4]

К основным безразмерным критериям подобия течения при проектировании ЛА относятся число Маха М, число Рейнольдса Re, число Прандтля Pr, число Стантона St, число Нуссельта Nu , число Кнудсена Kn.

1.2.1. Число Маха

Число Маха является важнейшей характеристикой потока газа, определяющей отношение скорости направленного движения потока к скорости распространения звуковых колебаний в газе.

М=U/a (1)

Если поток газа характеризуется числом Маха М<1, то он называется дозвуковым, если число Маха М > 1, то поток называется сверхзвуковым. Сверхзвуковое течение характеризуется свойством нераспространения возмущений вверх по потоку, а также сохранением основных параметров потока внутри области течения, ограниченной конусом Маха, имеющим полуугол, равный арксинусу отношения 1/М.

1.2.2. Число Рейнольдса.

Число Рейнольдса Re характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке газа.

Сила инерции F_ин, деленная на объем V запишется в виде

= = ρ = ρ = ρu (2)

Объемная сила трения F_тр определяется напряжением трения τ_xy

= = μ (3)

Отсюда при замене скорости и координаты на их некие характерные значения U X число Рейнольдса Re запишется в следующем виде

Re = = ≈ ≈ (4)

1.2.3. Число Стантона.

Интеграл уравнения сохранения энергии для несжимаемого адиабатического течения позволяет определить несколько важных величин для дальнейшего изучения теории теплообмена. Этот интеграл носит имя интеграла Бернулли и записывается в следующем виде

С_р (Т₀ - Т_∞) = U²/2 (5),

где Т_∞ - статическая температура потока, U-скорость направленного движения потока, Т₀ это температура, которую принимает среда при скорости движения равной нулю. Эта температура носит название температуры торможения.

Величина в термодинамике С_рТ₀ называется полной энтальпией газа или его полным теплосодержанием, которая складывается из энтальпии С_рТ_∞ и кинетической энергии U²/2 в применении к потокам частиц, движущимся со скоростью U. Если мысленно представить себе единичную площадку, через которую течет поток частиц со скоростью направленного движения u, то поток полной энергии, переносимый через эту площадку в единицу времени, равен

q₀ = ρUС_рТ₀ = ρUС_рТ_∞ + ρU³/2 (6)

При высоких скоростях движения потока, характеризующихся числами Маха больше 1, можно утверждать, что С_рТ_∞≪ ρU³/2. Это имеет место при рассмотрении вопросов теплообмена при обтекании поверхности ЛА сверхзвуковым потоком, чему и посвящен весь курс «Перспективных методик расчета средств выведения». Тогда уравнение (6) можно упростить, приравняв поток полной энтальпии и поток кинетической энергии:

q₀ = ρUС_рТ₀ = ρU³/2 (7)

При обтекании направленным потоком частиц твердой стенки, например, поверхности ЛА, часть энергии потока q уходит через поверхность в конструкцию ЛА. Стантоном введен безразмерный коэффициент St, который определяет долю кинетической энергии потока (или полного теплосодержания потока), которая в процессе теплообмена переходит в поверхность ЛА). Поток тепла в конструкцию q можно определить следующим образом:

q = StρUС_р(Т₀ - Т_w) (8)

за вычетом потока теплосодержания молекул, принявших температуру стенки Т_w и вовлеченных в поток.

При проведении тепловых расчетов в проектировании ЛА применяется следующее уравнение

q = α(Т₀ - Т_w) (9)

Величина α носит название коэффициента теплообмена и является одним из основных проектных параметров. Если сопоставить уравнения (9) и (8), то можно определить связь между коэффициентом теплообмена α , измеряемого в Вт/м²∙К, и безразмерным числом Стантона St

α = StρUС_р (10)