![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Основные понятия.
- •1. Безусловная оптимизация (многомерные функции)
- •1.1 Методы первого порядка (градиентные методы)
- •1.1.1. Градиентный метод с постоянным шагом
- •1.1.2. Выпуклые функции и множества
- •Теорема
- •Определение.
- •Без доказательства
- •2.Теорема:
- •1.2. Градиентные методы (продолжение)
- •1.2.1. Градиентный метод с дроблением шага.
- •1.2.2. Метод наискорейшего спуска.
- •Без доказательства
- •1.2.3. Масштабирование
- •1.3. Метод Ньютона.
- •1.4. Многошаговые ( двухшаговые ) методы.
- •1.3.1. Метод тяжелого шарика
- •1.3.2. Метод сопряженных градиентов
- •1.3.3. Модификация Полака-Ривьера
- •1.5. Квазиньютоновские методы
- •1.6. Методы нулевого порядка (методы прямого поиска)
- •1.6.1. Методы аппроксимации
- •Метод покоординатного спуска
- •1.6.3. Метод симплексов (Нелдера-Мида)
- •1.6.4. Метод Пауэлла (сопряженных направлений)
- •1.7. Методы прямого поиска в задачах одномерной минимизации.
- •1.7.1. Метод квадратичной интерполяции.
- •1.7.2. Метод дихотомии ( половинного деления.).
- •1.7.3. Метод «золотого» сечения.
- •1.7.4. Метод Фибоначчи.
- •2. Условная минимизация.
- •2.1 Задача нелинейного программирования.
- •2.1.1. Ограничения типа равенства.
- •2.1.2. Ограничения типа неравенств.
- •2.2. Задача выпуклого программирования
- •2.3. Методы условной минимизации.
- •2.3.1. Метод проекции градиента.
- •2.3.2. Метод условного градиента.
- •2.3.3. Метод модифицированной функции Лагранжа.
- •2.3.4. Метод штрафных функций.
- •2.4. Двойственность звп
- •2.4.1. Двойственность злп
- •3. Линейное программирование
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Геометрическая интерпретация злп.
- •3.3. Условие оптимальности для злп.
- •3.4. Базис и базисное решение.
- •3.5. Симплекс - метод решения злп.
- •3.6 Транспортная задача
- •3.5.1. Построение первоначального опорного плана.
- •3.5.2. Построение оптимального плана. Метод потенциалов.
- •4. Решение переборных задач.
- •4.1. Метод ветвей и границ.
- •4.1.1. Задача о коммивояжере.
- •4.2. Динамическое программирование.
- •4.2.1. Абстрактная схема.
- •4.2.2. Вывод уравнения Беллмана.
- •4.2.3. Методика применения функции Беллмана для решения исходной задачи.
- •4.2.4. Примеры задач динамического программирования
- •5. Вариационное исчисление (ви)
- •5.1. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
- •5.1.1. Частные случаи уравнения Эйлера-Лагранжа.
- •5.1.2. Задача о брахистохроне.
- •5.2. Вариационные задачи на условный экстремум.
- •5.2.1. Модельные задачи на условный экстремум.
- •6. Принцип максимума Понтрягина ( на примере задачи оптимального управления ).
- •6.1. Принцип максимума в задаче о быстродействии.
- •Список литературы
6.1. Принцип максимума в задаче о быстродействии.
В
этой задаче время T
не фиксировано и
(X,U)
= 1 (в данном
случае),
т.е.
J
==T
Функция Гамильтона:
=
+
Т.к.
функции
(X,U)
,
=
не зависят от
,
получим:
=
=
0
=
const
*см. гамильтонову систему
Максимум
функции
реализуется одновременно с максимумом
функции H=
Из
требования
0 (принцип
максимума) следует,
что максимум H
0
*в
момент времени T, т.к.
должен
быть равен 0 в T.
Таким образом, для оптимальности по быстродействию необходимо:
Существование ненулевой непрерывной вектор - функции:
(t)
=,
составляющие которой удовлетворяют
системе:
=
;
=
Чтобы функция Гамильтона H = ( (t), F (X,U)) достигала при каждом значении
0 < t < T максимума по U.
Чтобы при t = T max H = ( (t), F (X,U)) 0 .
Замечание:
Оказывается, что если выполняются условия 1 и 2, то функция max H(t) постоянна,
так что условие 3 справедливо в любой момент времени 0 < t < T.
Пример:
Рассмотрим задачу о предельном быстродействии при переходе системы
из
начального состояния
в заданное состояние
*т.е. осуществляется переход в нулевое состояние.
Единственное управляющее воздействие u ограничено по модулю
(*)
Составляем
функцию Гамильтона: H =
+
Составляющие вектора должны удовлетворять уравнениям:
=
0;
=
Интегрирование дает:
=
,
=
и функция Гамильтона:
H
=
+
Максимум
функции Гамильтона H при ограничении
(*) достигается при управляющем воздействии:
u(t) =
sign(
)
=
sign
(**),
а
величина
=
+
(
)sign(
)
Из выражения (**) следует:
При оптимальном процессе управляющее воздействие в любой момент времени равно одному из двух своих предельных значений (+
,
), т.е. значениям на границе области возможных управлений.
Этот
вывод , вытекающий из принципа максимума,
не может быть получен методами
классического вариационного исчисления.
Обычно считают
=1
Оптимальный процесс состоит не более чем из двух интервалов, т.к. функция
=
не более одного раза переходит через 0, меняя при этом свой знак
Решаем исходную систему:
1). Пусть u = 1,
тогда
(t)
= t +
(t)
=
+
+
=
+
=
+
Семейство фазовых траекторий имеет вид:
Фазовые
точки движутся снизу вверх, т.к.
=u
1,
>
0
* ускорение >0 скорость растет
2). u = -1
(t)
= -t +
(t)
= -
+
+
=
-
+
=
-
+
Фазовые точки движутся сверху вниз
* ускорение < 0 скорость падает
Общее семейство фазовых траекторий:
Таким образом. максимум одно переключение - траектория входит в ноль.
* мы должны перевести систему в ноль - см. начало
-
расстояние,
-
скорость
u = 1 - разгон (ускорение - производная скорости по времени > 0 )
u = -1 - торможение (ускорение < 0 ).
Согласно принципу максимума только изображенные траектории могут быть оптимальными, причем из каждой точки фазовой плоскости исходит только одна траектория, ведущая в начало координат , которая может быть оптимальной (т.е. задание начальной точки однозначно определяет соответствующую траекторию).
Можно доказать, что эти траектории оптимальны (т.е. обосновать достаточность).