- •Основные понятия.
- •1. Безусловная оптимизация (многомерные функции)
- •1.1 Методы первого порядка (градиентные методы)
- •1.1.1. Градиентный метод с постоянным шагом
- •1.1.2. Выпуклые функции и множества
- •Теорема
- •Определение.
- •Без доказательства
- •2.Теорема:
- •1.2. Градиентные методы (продолжение)
- •1.2.1. Градиентный метод с дроблением шага.
- •1.2.2. Метод наискорейшего спуска.
- •Без доказательства
- •1.2.3. Масштабирование
- •1.3. Метод Ньютона.
- •1.4. Многошаговые ( двухшаговые ) методы.
- •1.3.1. Метод тяжелого шарика
- •1.3.2. Метод сопряженных градиентов
- •1.3.3. Модификация Полака-Ривьера
- •1.5. Квазиньютоновские методы
- •1.6. Методы нулевого порядка (методы прямого поиска)
- •1.6.1. Методы аппроксимации
- •Метод покоординатного спуска
- •1.6.3. Метод симплексов (Нелдера-Мида)
- •1.6.4. Метод Пауэлла (сопряженных направлений)
- •1.7. Методы прямого поиска в задачах одномерной минимизации.
- •1.7.1. Метод квадратичной интерполяции.
- •1.7.2. Метод дихотомии ( половинного деления.).
- •1.7.3. Метод «золотого» сечения.
- •1.7.4. Метод Фибоначчи.
- •2. Условная минимизация.
- •2.1 Задача нелинейного программирования.
- •2.1.1. Ограничения типа равенства.
- •2.1.2. Ограничения типа неравенств.
- •2.2. Задача выпуклого программирования
- •2.3. Методы условной минимизации.
- •2.3.1. Метод проекции градиента.
- •2.3.2. Метод условного градиента.
- •2.3.3. Метод модифицированной функции Лагранжа.
- •2.3.4. Метод штрафных функций.
- •2.4. Двойственность звп
- •2.4.1. Двойственность злп
- •3. Линейное программирование
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Геометрическая интерпретация злп.
- •3.3. Условие оптимальности для злп.
- •3.4. Базис и базисное решение.
- •3.5. Симплекс - метод решения злп.
- •3.6 Транспортная задача
- •3.5.1. Построение первоначального опорного плана.
- •3.5.2. Построение оптимального плана. Метод потенциалов.
- •4. Решение переборных задач.
- •4.1. Метод ветвей и границ.
- •4.1.1. Задача о коммивояжере.
- •4.2. Динамическое программирование.
- •4.2.1. Абстрактная схема.
- •4.2.2. Вывод уравнения Беллмана.
- •4.2.3. Методика применения функции Беллмана для решения исходной задачи.
- •4.2.4. Примеры задач динамического программирования
- •5. Вариационное исчисление (ви)
- •5.1. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
- •5.1.1. Частные случаи уравнения Эйлера-Лагранжа.
- •5.1.2. Задача о брахистохроне.
- •5.2. Вариационные задачи на условный экстремум.
- •5.2.1. Модельные задачи на условный экстремум.
- •6. Принцип максимума Понтрягина ( на примере задачи оптимального управления ).
- •6.1. Принцип максимума в задаче о быстродействии.
- •Список литературы
3. Линейное программирование
3.1. Основные понятия
ЗЛП: minf(x),xX
X={xRn :gj(x)0,j= 1...m},f,gj - линейны для любогоj.
Таким образом ЗЛП- частный случай ЗНП.
Определение:
Функция называется линейной, если справедливо:
f(1x1+ 2x2) = 1f(x1) + 2f(x2), где iR, xiX.
В n-мерном пространстве линейная функция может быть определена так:
f(x) = (c,x)
f(x) = c1x1+ ....+ cnxn
Ограничения
Расширим класс задач
,
то есть передвинуть область в n-мерном пространстве.
Определение:
Если при задании допустимого множества Xиспользуются только неравенства, то это ЗЛП в стандартной форме.
Определение:
Если при задании Xиспользуются только равенства, то это задача линейного программирования в канонической форме.
Возможны смешанные задачи.
ЗЛП в канонической форме эквивалентна некоторой задаче в стандартной форме и наоборот.
Пусть есть только неравенства. Как от них избавиться?
Надо расширить пространство: в каждое из неравенств добавляется еще одна координата (переменная) xn+i 0
+ +...+ +=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+ +...+ +=
Ограничения типа равенств можно представить в виде двух ограничений типа неравенств. Пусть (, x) = 0 , тогда (, x)0 и (, x)0
Матричная форма записи ЗЛП.
X = {Ax = b , x 0 , x } ; A - матрица размерности mn ; x - вектор размерности n ; b - вектор размерности m ;
f(x) = (c,x) - линейная функция;
f(x) - ЗЛП
Упражнение: Доказать, что допустимое множество Х ЗЛП – выпукло.
Определение: Точка x выпуклого множества называется крайней (угловой), если из
+ (1 - ) = x следует== x , т.е. крайнюю точку нельзя выразить с помощью линейной комбинации других точек выпуклого множества.
Теорема ( о представлении ) :
Всякая точка допустимого ограниченного множества ЗЛП допускает представление в виде выпуклой комбинации его крайних точек .
(без доказательства)
Теорема ( о существовании оптимальной точки ) :
Если целевая функция на допустимом множестве ЗЛП ограничена снизу, то оптимальная точка существует.
Доказательство: (без доказательства).
Таким образом, существует альтернатива :
либо минимум целевой функции на X есть - ,
либо существует оптимальная точка : (c ,) =(c, x) , если X не пусто.
3.2. Геометрическая интерпретация злп.
Пусть X = {x , Ax b , x 0} , f(x) = (c,x) - целевая функция
A=- матрица, где- строка длины n ;
b=- вектор размерности m.
Тогда одно условие принимает вид : (, x) , i =
Множество точек, для которых справедливо это неравенство - полупространство с граничной гиперплоскостью (, x) =.
Определение: Гиперплоскость в пространстве - это пространство размерности . Таким образом, допустимое множество X является пересечением конечного числа полупространств.
Рассмотрим двумерный случай (n = 2) :
Гиперплоскость - прямая; полупространство - полуплоскость.
Рис.1а.
* здесь ограниченное допустимое множество
x 0, т.е. допустимое множество находится в 1 квадранте.
Рис.2а.
* здесь неограниченное допустимое множество
Какая точка может быть оптимальной для ЗЛП?
Наряду с допустимыми множествами введем в рассмотрение целевую функцию.
Рис.1б.
Для функции 2 (рис.2б) точки min нет. Даже в случае неограниченного допустимого множества оптимальная точка может существовать ( но ее может и не быть) .