3.3. Условие оптимальности для злп.
Лемма:
Пусть
точка
-
оптимальная точка ЗЛП. Пусть существуют
точки
,...,
X , такие что
=
,
где
>0
и
=1,
тогда
(c,
)
= (c,
)
= ... = (c,
).
Доказательство : ( идея )
Предположим,
что (c,
)
(c,
)
...
(c,
).
(*)
Тогда
(c,
)
= (c,
)
= (по св-ву скал. произв.) =
(c,
)
(c,
)
= (c,
)
; учитывая (*), получаем (c,
)
= (c,
)
.
Далее по индукции.
Теорема ( об угловой точке ) :
Если
для ЗЛП существует оптимальная точка
,
то найдется угловая точка
X
такая , что (c,
)
= (c,
).
Доказательство :
1.Пусть допустимое множество X ограничено. По теореме о представлении:
=
;
0 ,
=1,
-
угловые (крайние
) точки множества X.
В
случае необходимости перенумеруем
так, чтобы
0,...,
0,
=
0,...,
=
0 ; тогда
=
,
>0
,
=1.
На основании предыдущей леммы можно
утверждать, что (c,
)
= (c,
)
= ... = (c,
).
Теперь
в качестве
можно взять любую угловую точку
,...,
X .
2.Пусть
X не ограничено, а
-
оптимальная точка.
Выберем
некоторое число
>
0 и построим два множества:
L
= {x
:
},
=
{x
:
=
}.
Иллюстрация
для
:
Число
выбираем так , чтобы
L , но
.
Тогда
X
L
, которое является ограниченным (см.
рисунок).
Поэтому :
=
,
>0
,
=1,
-
угловые (крайние
) точки
множества X
L
(по теореме
о представлении).
Если
хотя бы одна точка
l, то теорема доказана , т.к.
-
угловая точка множества X (см.
рисунок).
Если
все
,
i =
,то
из представления
=
,
>0
,
=1,
i
=
следует что
,
что противоречит выбору числа
.
Т.к.
выпукло:
=
+
-
=
+
-
=
,
если
,
(проверка
определения выпуклого множества).
3.4. Базис и базисное решение.
Пусть
X = { x
:
,
i =
,
0 }
(c,
x) =
-
?
Введем векторы :
,
которые называются векторами
условий
.
Тогда ЗЛП имеет вид :
,
0 , j =
(c,
x) - ?
Определение: Допустимое решение называется базисным, если система векторов условий , отвечающих его положительным компонентам (>0) линейно независима. При этом упомянутая система векторов называется базисом.
*
речь
идет о векторах
Теорема (о допустимом решении ЗЛП) :
Допустимое решение является крайней точкой (планом) тогда и только тогда, когда оно базисное.
Доказательство :
Достаточность
()
Пусть x - базисное решение. Без ограничения
общности можно предположить , что первые
k компонент x (решения)
отличны от нуля, остальные - нули . Т.е.
x =
.
По определению базисного решения :
и система векторов
,
...,
линейно независима. Покажем, что x
является крайней точкой. Допустим
противное, то есть что точкаx
может быть представлена в виде:
x
=
+ (1 -
)
, 0 <
<1,
,
X - различные точки
В
силу того, что
>0,
1-
>0
и
должны
иметь вид :
=
=
Т.к.
и
-
допустимые точки, то
,
следовательно
0
Из
линейной независимости векторов
,
...,
следует , что
=
,
а это противоречит тому, что
,
поэтому x – крайняя точка.
Необходимость().
Пусть x =
является крайней точкой X.
Покажем,
что x
является базисным решением. Для этого
достаточно показать, что система
векторов
,
...,
линейно независима . Предположим
противное.
Тогда
(не все нулевые)
такие, что
0
Т.к.
x - допустимое решение, то
Рассмотрим
при произвольном
>0
следующее выражения :
,
Ясно,
что
можно подобрать так , чтобы точки
=
=
имели
положительные компоненты, т.е. были бы
допустимыми решениями. Тогда получаем:
x =
,
т.е. x не является крайней точкой. Тогда
предположение неверно, система
,
...,
линейно независима . Теорема доказана.
Следствие
1: Т.к.
векторы
,
...,
имеют размерность m , то крайняя точка,
принадлежащая X, имеет не более чем m
положительных компонент.
Следствие
2: Каждой
угловой точке соответствует не более
m ( k
m ) линейно независимых векторов системы
,
...,
.
Следствие 3: Число крайних точек множества X конечно.
Как было показано, если оптимальная точка существует, то она совпадает с крайней . Поэтому для решения ЗЛП необходимо исследовать только крайние точки допустимого множества X.
Замечание :
Можно показать, что каждой крайней точке соответствует не более n активных ограничений.
Количество ограничений в ЗЛП n+m.
Количество
крайних точек не больше
,
то есть – конечно.