Задача № 6.

Имеются сведения о среднем размере земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства – Q_t, га, за период с 1993 по 2001 год (на конец года) в Российской Федерации.

Годы	Qt	Годы	Qt
1993	43	1998	48
1994	42	1999	51
1995	43	2000	55
1996	43	2001	58
1997	44

Задание:

1. Постройте график фактических уровней динамического ряда - Q_t

2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда

3. Оцените полученные результаты:

• с помощью показателей тесноты связи ( r и r² );

• значимость модели тренда (F-критерий);

• качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -

4. Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.

5. Проанализируйте полученные результаты.

Решение:

1.Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений:

Выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка:

Годы	Qt	t	t2	Qt*t
1993	43	1	1	43
1994	42	2	4	84
1995	43	3	9	129
1996	43	4	16	172
1997	44	5	25	220
1998	48	6	36	288
1999	51	7	49	357
2000	55	8	64	440
2001	58	9	81	522
∑	427	45	285	2255
Средняя	47,4	5,0
Сигма	5,94	2,74
Дисперсия, D	35,28	7,50

9 * а₀ + а₁* 45 = 427

а₀ * 45 + а₁* 285 = 2255

Получены значения коэффициентов:

а₀ = 37,4, а₁ = 2.

уравнение имеет вид: .

Данное уравнение детерминирует 85,0% вариации размера участка крестьянского хозяйства ( ; ).

Годы	Qt	Qt расч.	DQt	(dQt)2
1993	43	39,4	-3,6	12,64	8,3%
1994	42	41,4	-0,6	0,31	1,3%
1995	43	43,4	0,4	0,20	1,0%
1996	43	45,4	2,4	5,98	5,7%
1997	44	47,4	3,4	11,86	7,8%
1998	48	49,4	1,4	2,09	3,0%
1999	51	51,4	0,4	0,20	0,9%
2000	55	53,4	-1,6	2,42	2,8%
2001	58	55,4	-2,6	6,53	4,4%
Итого					35,3 / 9 = 3,9%

Средняя ошибка аппроксимации невелика ( = 3,9%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. Фактическое значение F-критерия составило 39,79 и сравнение с 5,59 его табличного значения позволяет сделать вывод о высокой степени надёжности уравнения тренда.

Для дополнительной проверки качества тренда выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений фактических уровней от рассчитанных по уравнению тренда.

Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:

Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с₁, который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:

Отсюда . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения связаны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию. Следует рассмотреть тренд иной формы.

Таблица 2

	(Y)	(X)
	43
1	42	43	1806	1849
2	43	42	1806	1764
3	43	43	1849	1849
4	44	43	1892	1849
5	48	44	2112	1936
6	51	48	2448	2304
7	55	51	2805	2601
8	58	55	3190	3025
Итого	384	369	17908	17177
Средняя	42,66667	41,00	—	—
Сигма	6,09	4,73	—	—

Заканчиваем решение задачи выполнением прогноза по уравнению прямой. Прогноз выполним на 2 года: на 2002 и 2003 гг. Условный фактор – фактор времени t, примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть,

При подстановке значений в уравнение и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозные значения среднего размера участка:

Га

Га.