Решение
Расположим территории по возрастанию фактора X.
Таблица 1.2
Исходные данные, расположенные по возрастанию фактора X
Территории федерального округа |
Валовой региональный продукт, млрд руб., Y |
Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X |
6. Карачаево-Черкесская Респ. |
4,3 |
0,61 |
3. Респ. Ингушетия |
2 |
0,93 |
1. Респ. Адыгея |
5,1 |
1,264 |
7. Респ. Северная Осетия – Алания |
7,6 |
1,6 |
4. Кабардино-Балкарская Респ. |
10,5 |
2,382 |
2. Респ. Дагестан |
13 |
3,344 |
5. Респ. Калмыкия |
2,1 |
6,689 |
11. Волгоградская обл. |
50 |
10,936 |
10. Астраханская обл. |
18,9 |
12,633 |
9. Ставропольский край |
43,4 |
15,104 |
12. Ростовская обл. |
69 |
20,014 |
Заметим, что с увеличением размера инвестиций в основной капитал, увеличивается также и валовой региональный продукт (ВРП). Выдвигаем гипотезу о наличие сильной связи между X и Y.
Построим поле корреляции, исключив из рассмотрения область с аномальными значениями (краснодарский край).
Рис. 1.1 Поле корреляции
Судя по графику, можно предположить наличие прямой линейной связи между X и Y.
3. Найдем уравнение парной линейной регрессии в виде
.
Параметры уравнения a0 и a1 оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Для этого нужно составить систему нормальных уравнений:
Из которой определить параметры можно следующим образом:
;
,
где
,
- средние значения признаков.
Заполним расчетную таблицу (табл. 1.3).
Таблица 1.3
Расчет параметров уравнения парной линейной регрессии
№ |
Y |
X |
Y*X |
Y2 |
X2 |
1 |
4,3 |
0,610 |
2,623 |
18,490 |
0,372 |
2 |
2,0 |
0,930 |
1,860 |
4,000 |
0,865 |
3 |
5,1 |
1,264 |
6,446 |
26,010 |
1,598 |
4 |
7,6 |
1,600 |
12,160 |
57,760 |
2,560 |
5 |
10,5 |
2,382 |
25,011 |
110,250 |
5,674 |
6 |
13,0 |
3,344 |
43,472 |
169,000 |
11,182 |
7 |
2,1 |
6,689 |
14,047 |
4,410 |
44,743 |
8 |
50,0 |
10,936 |
546,800 |
2500,000 |
119,596 |
9 |
18,9 |
12,633 |
238,764 |
357,210 |
159,593 |
10 |
43,4 |
15,104 |
655,514 |
1883,560 |
228,131 |
11 |
69,0 |
20,014 |
1380,966 |
4761,000 |
400,560 |
∑ |
225,9 |
75,506 |
2927,663 |
9891,690 |
974,873 |
среднее |
20,536 |
6,864 |
266,151 |
899,245 |
88,625 |
;
.
Получили уравнение парной линейной регрессии:
.
Коэффициент
регрессии
показывает, что при увеличении инвестиций
в основной капитал на 1 млрд. руб., валовой
региональный продукт увеличивается в
среднем на 3,016 млрд. руб. Положительное
значение коэффициента свидетельствует
о том, что связь между признаками прямая,
т.е. увеличению одного признака
соответствует увеличение другого (чем
больше объем инвестиций, тем выше
значение ВРП).
Уравнение логарифмической регрессии имеет вид
.
Параметры уравнения оцениваются также с помощью МНК.
Система нормальных уравнений будет следующей:
откуда параметры можно определить следующим образом:
;
.
Таблица 1.4
Расчет параметров парной логарифмической регрессии
№ |
Y |
X |
lnX |
Y*lnX |
Y2 |
(lnX)2 |
1 |
4,3 |
0,610 |
-0,494 |
-2,125 |
18,49 |
0,244 |
2 |
2,0 |
0,930 |
-0,073 |
-0,145 |
4,00 |
0,005 |
3 |
5,1 |
1,264 |
0,234 |
1,195 |
26,01 |
0,055 |
4 |
7,6 |
1,600 |
0,470 |
3,572 |
57,76 |
0,221 |
5 |
10,5 |
2,382 |
0,868 |
9,113 |
110,25 |
0,753 |
6 |
13,0 |
3,344 |
1,207 |
15,693 |
169,00 |
1,457 |
7 |
2,1 |
6,689 |
1,900 |
3,991 |
4,41 |
3,612 |
8 |
50,0 |
10,936 |
2,392 |
119,603 |
2500,00 |
5,722 |
9 |
18,9 |
12,633 |
2,536 |
47,936 |
357,21 |
6,433 |
10 |
43,4 |
15,104 |
2,715 |
117,829 |
1883,56 |
7,371 |
11 |
69,0 |
20,014 |
2,996 |
206,754 |
4761,00 |
8,979 |
∑ |
225,9 |
75,506 |
14,753 |
523,416 |
9891,690 |
34,852 |
среднее |
20,536 |
6,864 |
1,341 |
|
|
3,168379 |
;
.
Получаем следующее уравнение:
.