§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОТЗЫВАЕМОГО ОПЦИОНА

В качестве третьего примера применения модели к другим типам опционов рассмотрим рациональное определение цены отзываемого американского опциона. Хотя отзываемые опционы редко выпускаются, рассматриваемый пример является важным, поскольку анализ легко переносится на определение стоимости других типов ЦБ, таких как конвертируемые облигации, которые почти всегда выпускаются как отзываемые.

Для американских опционов мы принимаем стандартные условия, за исключением того, что выпускающая компания имеет право отозвать, т. е. выкупить, опцион в любое время по фиксированной цене. Поскольку опцион американского типа, при его отзыве владелец имеет право его исполнить, а не продавать обратно компании по цене отзыва. Если такое встречается, то говорят, что произошла «вынужденная конверсия», поскольку владелец опциона «вынужден» его исполнить, если стоимость опциона превышает цену отзыва.

Стоимость отзываемого опциона будет равна стоимости эквивалентного неотзываемого опциона минус некоторая «скидка». Эта скидка будет стоимостью обеспечения отзыва компанией. Можно представлять отзываемый опцион как результат двух сделок: компания продает неотзываемый опцион инвестору и одновременно приобретает у инвестора право или «вынудить» его к досрочной конверсии, или вернуть опцион по фиксированной цене.

Пусть F(S, τ ; K) будет стоимостью отзываемого американского опциона, Н(S, τ ; K) − стоимостью эквивалентного неотзываемого опциона, какой она вычисляется по формуле (2.1), С(S, τ ; K) − стоимостью отзыва. Тогда Н = F + С и F будут удовлетворять основному уравнению в частных производных

по переменной S [0, S] при следующих ограничениях: F(0, τ ; K) = 0,

F (S, 0; K) = max [0, S – K], F ( S , τ ; K) = max [K*, S – K], где K* явля-

ется ценой колла, а S есть (пока не определенный) уровень цены акции, когда компания будет отзывать опцион. В отличие от случая «добровольной» конверсии опциона из-за неблагоприятной защищенности дивидендов, проанализированной в § 4, S выбирается не вла-

81

дельцем опциона, а компанией и, следовательно, не будет выбираться так, чтобы максимизировать стоимость опциона.

Поскольку С = Н – F, а Н и F удовлетворяют уравнению (2.43), С тоже будет удовлетворять (2.43) при соблюдении граничных условий

С(0, τ ; K) = 0, С(S, 0; K) = 0, С( S ,τ ; K) = Н( S , τ ; K) – mах [K*, S – K].

Поскольку S выбирает компания, мы добавляем условие максимизации по S для того, чтобы максимизировать С(S, τ ; K), что делает (2.43) корректно поставленной задачей. Так как С = Н – F и Н не являются функциями S , условие максимизации С может быть переписано как условие минимизации F.

Вобщем случае невозможно получить решение уравнения (2.43)

вявной форме. Однако решение для бессрочного опциона найти мож-

но. В этом случае мы знаем, что Н(S, τ ; K) = S, и уравнение (2.43) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

а S выбирается так, чтобы максимизировать С. Здесь С(S) является сокращенной записью функции С(S, ∞ ; K), а штрих означает производную. Решая уравнение (2.44) и используя два первых ограничения, получаем выражение

C(S) = (1 – max [K*/ S , 1 – K/ S ]) S.

Хотя мы и не можем использовать какой-либо простой метод для максимизации С, очевидно, что S = K* + K, так как для S < K + Е функция С является возрастающей, а для S > K* + K − убывающей. Поэтому стоимость обеспечения отзыва

82

средним µ dt и дисперсией σ 2dt. Когда dt достаточно мало, тогда St + dt не сильно отличается от St. Это признак диффузионного процесса, который представляет собой вид вязкого непрерывного случайного блуждания около функции тренда и на коротком промежутке времени не имеет особенностей.

Вместе с тем диффузионные процессы – только один из двух общих классов стохастических процессов в непрерывном времени. Вторым типом стохастического процесса в непрерывном времени является разрывный (скачкообразный) процесс. Простой разрывный процесс можно описать по аналогии с (2.45) как

В уравнении (2.46) π является процессом Пуассона в непрерывном времени, т. е. процессом с исходами типа III (см. гл. 1), λ имеет смысл интенсивности процесса и k − 1 преставляет собой величину скачка. Как и (2.45), уравнение (2.46) – формальное описание стохастического процесса, который определяет относительное изменение стоимости акции на интервале времени от t до t + dt. Уравнение (2.46) говорит о том, что это относительное изменение составлено из функции дрейфа µ dt и слагаемого dπ , которое с вероятностью λdt будет скачком относительного изменения стоимости акции на k − 1, возможно, случайным, и с вероятностью 1 − λdt будет нулевым. Допустимой интерпретацией этого является то, что λdt представляет собой мгновенную вероятность получения пакета информации, которая вызовет скачкообразное изменение процесса S.

В отличие от диффузионного процесса скачкообразный процесс (2.46) изменяется детерминированно до тех пор, пока не происходят дискретные скачки. Формально скачкообразный процесс имеет выборочные траектории, которые разрывны с вероятностью единица, в то время как выборочные траектории диффузионного процесса с вероятностью единица непрерывны. Кроме того, рассматриваемые скачкообразные процессы непрерывны справа почти всюду, т. е. их разрывы являются простыми скачками. Из-за разрывов стоимости локальный анализ Блэка – Шоулса для определения стоимости опционов прямо не переносится на уравнение (2.46). Хотя, предположив, что k фиксировано, можно показать, что безрисковый хедж можно было бы сфор-

84

мировать, и использовать для определения стоимости опционов скачкообразные процессы.

В этом параграфе мы преследуем две цели. Во-первых, проверяем рациональность предположения о том, что стоимости акций следуют уравнениям (2.45) или (2.46), и предлагаем некоторые полезные альтернативные формы. Они позволят нам рассмотреть соотношение между выбором процесса и решениями проблем опционов, в то же время снабжая дополнительными моделями для опытной проверки. Во-вторых, используем метод, предложенный Коксом и Россом (Cox, Ross, 1976), для решения задачи определения стоимости опционов. Этот подход дает еще одно понимание структуры задачи определения стоимости опционов, и его применение позволяет решить задачу определения стоимости облигации, по которой выплачиваются купоны, с произвольной известной датой погашения и задачу определения стоимости опциона на акцию с постоянными выплатами дивидендов.

При использовании нетрадиционных форм полезно строить их как скачкообразные процессы, так как многие из наших интуитивных соображений могут быть формализованы с помощью разрывных процессов, но мы используем диффузионные процессы из-за их аналитического удобства, не обращая внимания на вопрос, следует ли «реальный мир» диффузионному или разрывному процессу. Уравнение (2.46), например, описывает обычную акцию, чья стоимость дрейфует детерминированно, пока не будет получена порция новой информации. Информация прибывает с вероятностью λdt, и когда это происходит, стоимость акции скачкообразно изменяется на (k − 1) процентов. Диффузионный процесс (2.45) – предел такого процесса, когда информация прибывает непрерывно и имеет только инфинитезимальное влияние.

Уравнение (2.46) является очень частным случаем общей формы марковских скачкообразных процессов. Если через x обозначить текущее состояние среды, тогда общий скачкообразный процесс определяется уравнением

где ~ ( ) имеет распределение, зависящее от текущего состояния k x

среды x.

85

Предположим, что x = S, т. е. вся информация о состоянии содержится в текущей стоимости акции S. Мы могли бы, конечно, добавить слагаемое винеровской диффузии σ (x)dW к уравнению (2.47), чтобы получить более общий процесс, но уравнение (2.47) уже содержит диффузию как предельный случай (см. ниже). Мотивация конкретизации (2.47) в форме (2.45) или (2.46) состоит в том, что они содержат два понятия. Во-первых, выражаются в относительных или процентных величинах и рационально конкретизируют стохастический механизм в процентах, так как доход выражается в процентах. Во-вторых, при задании процесса в терминах процентов можно естественным образом ввести предельное ограничение стоимости акции S > 0. Как уравнение (2.45), так и уравнение (2.46) удовлетворяют этому граничному условию. Возможно, эти рассуждения не очень убедительны, тем не менее представляется, что нет причин для использования только уравнений (2.45) или (2.46). Делая так, мы просмотрели бы ряд интересных и одинаково обоснованных типов процессов.

Предположим, например, что в уравнении (2.47) мы задали интенсивность λ(S) и дрейф µ (S) пропорционально значениям λS и µ S, и выберем распределение k − 1, независимым от стоимости. Тогда

При наличии дрейфа уравнение (2.48) является обобщением класса стохастических процессов, известных как процессы гибели и размножения. Локальные среднее и дисперсия процесса (2.48) даются выражениями

E{dS} = [µ + λE{k − 1}]Sdt, V{dS} = λE{(k − 1)2}Sdt. (2.49)

Чтобы построить чистый процесс рождения и гибели, проигнорируем дрейф в уравнении (2.48) и позволим k принимать только два

значения: k+ > 1 и k− < 1 соответственно с (условными) вероятностями

π + и π − :

86

Уравнение (2.50) теперь является примером простого процесса рождения и гибели популяции. Представим себе фирму, выпускающую детали (членов популяции), чей суммарный выпуск (размер популяции) равен S. Если эти детали стохастически независимы одна от другой, можно допустить, что λdt представляет собой вероятность события, состоящего в том, что выпускается какая-то одна деталь. Событием с вероятностью π + является «рождение» k+ − 1 дополнительных деталей и с вероятностью π − – «гибель» 1 − k− деталей. Для всей фирмы (популяции) уравнение (2.50) тогда описывает локальное изменение ее состояния. Если же µ = 0, а π + = 1, тогда уравнение (2.50) описывает чистый процесс рождения, и если π − = 1, то уравнение (2.50) описывает чистый процесс гибели. В отличие от (2.50) уравнение (2.46) описывает стохастическое изменение состояний фирмы (популяции), все члены которой совершенно зависимы, т. е. когда один изменяется, все они изменяются, и вероятность такого события λdt не зависит от размера выпуска (размера популяции), хотя величина просто пропорциональна.

Другое интересное различие между уравнениями (2.46) и (2.50) можно увидеть путем перехода к диффузионному пределу в уравнении (2.50). Диффузионный предел уравнения (2.46) – это относительный процесс (2.45). В конце параграфа мы покажем, что предел (2.50), при k+ → 1, k− → 1 и λ → ∞ является диффузией с мгновенным средним µ S и дисперсией σ 2 S, где µ и σ задаются равенствами (2.49), но µ не является таким же дрейфом, что и в уравнении (2.48). Выразим результат через стохастические дифференциалы

Хотя этот тип диффузии полезно рассматривать как предельный случай экономики, в которой фирмы состоят из независимых единиц, такая интерпретация необязательна. Другие формы причинности могут привести к тому же вероятностному описанию событий. Мы можем рассмотреть этот диффузионный процесс исключительно из-за его собственных преимуществ при описании ситуации, в которой изменения состояний являются малыми и в которых дисперсия цен растет с увеличением цен на акции, но медленнее, чем в случае уравнения (2.45), так чтобы дисперсия ставки доходности уменьшалась, а не оставалась постоянной. Рассмотренный таким образом процесс может, конечно, не отвергаться на основе априорной информации, а может во

87

многих ситуациях быть предпочтительнее, чем процесс (2.45). Следует заметить, что в отличие от (2.45) диффузионный процесс (2.51) позволяет, чтобы S = 0, т. е. банкротство встречается с вероятностью единица (даже в отсутствие выплат по акциям).

Другой интересной конкретизацией уравнения (2.47) является случай, когда фирма состоит из зависимых подразделений, как в уравнении (2.46), так что интенсивность λ и величина приращений – константы. В таком случае

и мы совсем избавились от пропорциональности. Это является случаем, когда стоимость растет эндогенно с экспоненциальной скоростью µ , а суммарные экзогенные приращения стоимости размера k − 1 встречаются с интенсивностью λ. Мы будем называть такой процесс

абсолютным.

Локальные среднее и дисперсия абсолютного процесса даются выражениями

в случае, когда k является константой. Если π − = 0, процесс характеризует ограниченную ответственность, но если π − > 0, имеется положительная вероятность того, что он приводит к дефолту. Поэтому для сохранения ограниченной ответственности мы также должны конкретизировать неотрицательный нижний барьер для S. Вычислив диффузионный предел в уравнении (2.52) так же, как в (2.50), получим

где µ и σ определяются формулами (2.53).

Таким образом, этот процесс характеризовал бы такую фирму, приращения стоимости которой имеют постоянную дисперсию. Для обеспечения ограниченной ответственности установим поглощающий барьер в начале координат и будем считать (2.54) процессом, управ-

88

ляющим стоимостью акций до тех пор, пока этот уровень не будет достигнут. При этом снова в течение любого периода времени имеется положительная вероятность банкротства.

Чтобы получить стохастический дифференциал (2.51) достаточно продемонстрировать, что обратное уравнение Колмогорова (см. § 9) для функции переходной вероятности

Pх, у (t, τ ) = рrob{Sτ = у |St = х}, τ > t,

процесса рождения и гибели (2.50) сходится к уравнению для диффузии (2.51) при соответствующих рассуждениях предельного перехода. Обратное уравнение для (2.50) имеет вид

− (∂ Pх, у /∂ t) = − λ хPх, у + λхπ +Pх+∆ х, у + λхπ − Pх− ∆ х, у,

где ∆ х = k+ − 1 и k− − 1 = −∆ х.

Теперь, чтобы найти мгновенные среднее и дисперсию диффузионного процесса (2.51), при переходе к пределу изменяем интенсивности при ∆ х → 0 таким образом, чтобы

λх(∆ х)2 = σ 2x и λх(π + − π − )∆ х = µ x

или

λ = σ 2/(∆ х)2, λπ + = [σ 2/(∆ х)2 + µ /∆ х]/2, λπ − = [σ 2/(∆ х)2 − µ /∆ х]/2.

Переходя к пределу при ∆ х → 0 в обратном уравнении, получаем обратное уравнение для диффузии (2.51):

− (∂ Pх, у /∂ t) = − λ хPх, у + λхπ +[Pх, у + (∂ Pх, у/∂ х)∆ х + (∂ 2Pх, у/∂ х2)(∆ х)2/2]+ + λхπ − [Pх, у − (∂ Pх, у/∂ х)∆ х + (∂ 2Pх, у/∂ х2)(∆ х)2/2]=

= µ x(∂ Pх, у/∂ х) + σ 2x(∂ 2Pх, у/∂ х2)/2.

Получение абсолютного процесса (2.54) с использованием абсолютного скачка (2.52) примерно такое же, но в этом случае нам нужно слагаемое дрейфа. Для абсолютного процесса (2.52) обратное уравнение имеет вид

− (∂ Pх, у /∂ t) = − λ хPх, у + λхπ +Pх+∆ х, у + λхπ − Pх− ∆ х, у + µ x(∂ Pх, у/∂ х).

89