- •Оглавление
- •Предисловие
- •Основные сокращения и обозначения
- •Введение
- •Глава 1. Анализ моделей непрерывного времени
- •1. Математические и экономические предположения в моделях непрерывного времени
- •2. Процессы с непрерывными выборочными траекториями без редких событий
- •1. Финансовые производные
- •7. Определение стоимости отзываемого опциона
- •8. Разрывные стохастические процессы изменения цен акций
- •9. Определение стоимости опционов для разрывных стохастических процессов
- •10. Задачи определения стоимости опционов
- •Глава 3. Мартингалы и арбитраж на рынках ценных бумаг
- •1. Основные определения
- •2. Жизнеспособность и арбитраж
- •3. Модели рынка ценных бумаг
- •4. Конечная модель
- •6. Другие торговые стратегии
- •7. Обобщения
- •1. Постановки основных задач
- •2. Конечная теория
- •3. Непрерывная торговля
- •6. Иллюстративные примеры
- •Глава 5. Временная структура процентных ставок: мартингальный подход
- •1. Процесс дисконтированной цены облигации как мартингал
- •3. Случай, когда мгновенная процентная ставка является диффузионным процессом
- •1. Понятие о преобразовании Эсшера
- •2. Нейтральное к риску преобразование Эсшера
- •3. Формулы вычисления цен опционов
- •4. Опционы на несколько рисковых активов
- •5. Логарифмы цен акций как многомерный винеровский процесс
- •6. Цены активов, выплачивающих дивиденды
- •7. Определение цены бессрочного американского опциона
- •8. Логарифм цены акции как винеровский процесс
- •9. Русский опцион
- •10. Квазинепрерывные выборочные траектории
- •Литература
(S − mах[С, K])+ = S I (S > С и S > K) −
− [СI (S > С > K) + KI (S > K > С)].
В заключение покажем, что американский опцион-колл на максимум из n акций, не выплачивающих дивиденды, лучше не исполнять до их даты погашения. Следовательно, стоимость американского опциона определяется следствием 6.4 при k = 1. Доказательство достигается посредством двойного применения неравенства Иенсена:
Е[ e− rt (mах{ Sj (t)} − K)+; h*] ≥ (Е [ e− rt mах{ Sj (t)} ; h*] − e− rt K)+ ≥ ≥ (mах Е [ e− rt { Sj (t)} ; h*] − e− rt K)+ =
= (mах { Sj (0)} − e− rt K)+ ≥ (mах { Sj (0)} − K)+ .
Для t > 0 и r > 0 последнее неравенство является строгим, если в текущий момент опцион в деньгах, то есть если mах { Sj (0)} > K.
§ 5. ЛОГАРИФМЫ ЦЕН АКЦИЙ КАК МНОГОМЕРНЫЙ ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
В финансовой литературе обычно предполагается, что цены лежащих в основе активов порождаются геометрическими броуновскими движениями. Другими словами, предполагается, что { Х(t)} является n-мерным винеровским процессом. Теперь покажем, что многие результаты по опционам и финансовым производным, имеющиеся в литературе, непосредственно следуют из теоремы 6.1 (§ 4) и ее следствий.
Пусть µ = (µ 1, µ 2,…, µ n)Т и V = (σ ij) обозначают соответственно вектор средних и ковариационную матрицу { Х (1)} . Предполагается, что V невырожденная. Для t > 0 плотность вероятностей { Х(t)}
f (x, t) = |
1 |
|
|
|
|
exp[− |
(x − tµ )T (2tV )− 1(x − |
tµ )], х |
Rn. |
(2π)n 2 |
|
tV |
|
1 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Можно показать, что |
|
|
|
|
|||||
|
М(z, t) = ехр{ t(zТµ + zТVz/2)} , z |
Rn. |
|
||||||
Таким образом, для h Rn |
имеет место равенство |
|
|||||||
М(z, t; h) = М(z + h, t) / М(h, t) |
= ехр{ t(zТ( + Vh) + zТVz/2)} , |
z Rn, |
257
которое показывает, что преобразование Эсшера с параметром h n- мерного винеровского процесса является опять n-мерным винеровским процессом с модифицированным вектором средних за единицу
времени µ + Vh |
и прежней ковариационной матрицей на единицу |
|||
времени V . Из уравнения (6.5) следует, что для j = 1, 2,…, n |
|
|||
|
r = 1jТ(µ + Vh*) + 1jТV 1j/2, |
|
|
|
откуда мы получаем |
|
|
|
|
µ + Vh* = (r − σ 11/2, r − σ 22/2, … , r − |
σ |
nn/2)Т. |
(6.23) |
|
Следовательно, вектор средних за единицу времени модифици- |
||||
рованного процесса с параметром h* + 1j |
|
|
|
|
|
µ + V(h* + 1j) = |
|
|
|
= (r + σ 1j − |
σ 11/2, r + σ 2j − σ 22/2, … , r + σ |
nj − |
σ nn/2)Т. |
(6.24) |
Заметим, что правые части равенств (6.23) и (6.24) не содержат какихлибо элементов вектора µ .
Чтобы получить основной результат статьи Маргрейба (1978), вычислим математическое ожидание
Е( e− rτ [S1(τ ) − S2(τ )]+; h*),
которое по следствию 6.1 равно |
|
|
|
|
|
|
|
||
S1(0) рrоb { S1(τ ) > S2(τ ); h* + 11} − |
S2(0) рrоb { S1(τ ) > |
S2(τ ); h* + 12} = |
|||||||
= S1(0) рrоb { Y < ξ ; h* + 11} |
− S2(0) рrоb { Y <ξ ; h* + 12} , |
||||||||
где Y = Х2(τ ) − Х1(τ ) и ξ = ln[S1(0)/S2(0)]. |
|
|
|
|
|
|
|||
Случайная величина |
Y является нормальной по отношению к |
||||||||
любому преобразованию Эсшера: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Е(Y; h* + 11) = [(r + σ |
21 − σ |
22/2) − |
|
(r + σ |
11 − |
σ |
11/2)] τ |
= |
|
= (− |
σ |
11/2 + σ |
21 − |
σ |
22/2) τ |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(Y; h* + 12) = [(r + σ |
22 − σ |
22/2) − |
(r + σ |
12 − |
σ |
11/2)] τ |
= |
||
= (σ |
|
11/2 + σ |
12 + σ |
22/2) τ . |
|
|
|
|
Дисперсия Y не зависит от вектора параметров; она равна
(σ 11 − 2σ 12 + σ 22) τ .
258
Введя для краткости
v2 = σ 11 − 2σ 12 + σ 22
(дисперсию за единицу времени процесса { Х2(τ ) − Х1(τ )} ), получим
Е(Y; h* + 11) = − v2τ /2, Е(Y; h* + 12) = − v2τ /2, vаr(Y) = v2τ .
Таким образом, стоимость (в момент времени 0) опциона на обмен S2(τ ) на S1(τ ) в момент времени τ равна
S |
(0) Φ |
|
ξ + v2τ |
2 |
|
− |
S |
|
(0) Φ |
|
ξ − v2τ |
2 |
|
, |
(6.25) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
v τ |
|
|
|
|
|
|
v τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая и является формулой Маргрейба.
Немного удивительно, что формула (6.25) не зависит от безрис-
ковой процентной ставки r. Заметим также, что при S2 (t) = Ker(t − τ ) формула (6.25) превращается в формулу Блэка – Шоулса (6.12).
Теперь подсчитаем стоимость (в момент времени 0) опциона для получения большего из S1(τ ) и S2(τ ) в момент времени τ . Из равенства
mах [S1(τ ), S2(τ )] = S2(τ ) + [S1(τ ) − S2(τ )]+
получаем стоимость опциона в виде
S2 (0) + e− rτ Е ([S1(τ ) − S2(τ )]+; h*),
что с учетом выражения (6.25) равно
S |
(0) Φ |
|
ξ + v2τ |
|
2 |
|
S |
|
|
(0) |
|
− |
Φ |
|
ξ − v2τ 2 |
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
v |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
τ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
S |
(0) Φ |
|
ξ + v |
2τ 2 |
|
+ |
|
S |
|
(0) Φ |
|
− |
ξ + v2τ 2 |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
v |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
τ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
S |
(0) |
Φ |
|
ln[S |
(0) S |
2 |
(0) ]+ |
|
v2τ |
2 |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln[S |
2 |
(0) |
|
S |
(0) ]+ |
v2τ |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
S |
2 |
(0) Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(6.26) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259
Этот результат можно также получить с помощью применения след- ствия 6.3 при n = 2. Снова примечательно, что выражение (6.26) не зависит от r.
Аналогичным образом из следствия 6.4 также можно получить результаты Шталца для цены европейского опциона-колл на минимум из двух рисковых активов с известными ценой и датой исполнения и Джонсона для цены европейских опционов на максимум и минимум из n рисковых активов с известной ценой исполнения.
§ 6. ЦЕНЫ АКТИВОВ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ
Определение цены американских опционов с конечной датой истечения является исследованной проблемой в области финансовой экономики. Основную трудность составляет определение оптимальной границы исполнения. Здесь начнем изучать проблему определения цены американского опциона без даты истечения и теоремы опционного выбора остановки с помощью метода преобразований Эсшера. Эта проблема решаема, поскольку оптимальная граница исполнения бессрочного американского опциона не изменяется по отношению к временной переменной. Мы получим простую, но достаточно общую формулу для цены бессрочного американского опциона-пут на акцию, уменьшение которой не происходит скачкообразно. Аналогично получаем формулу для цены бессрочного американского оп- циона-колл на акцию, увеличение которой не происходит скачкообразно. В последнем параграфе главы мы представим семейство стохастических процессов для моделирования таких изменений цены акции. Это семейство включает винеровский процесс, гамма-процесс и обратный гауссовский процесс, а также комбинацию таких процессов.
В классических предположениях о том, что цена акции является геометрическим броуновским движением, проанализируем общий бессрочный американский зависимый платеж и получим формулы для бессрочного опциона и русского опциона. Мартингальный подход избегает использования дифференциальных уравнений. Мы также объясним соотношение между условиями гладкого склеивания Самюэльсона и условием оптимальности первого порядка.
260
Нейтральное к риску преобразование Эсшера
Для t ≥ 0 символ S(t) обозначает цену не выплачивающей дивиденды акции или ценной бумаги в момент t. Предположим, что имеется стохастический процесс { Х(t), t ≥ 0} , Х(0) = 0, со стационарными и независимыми приращениями такой, что
S (t) = S(0) ехр { Х(t)} , |
t ≥ 0. |
Для каждого t случайная величина Х(t), которую можно интерпретировать как непрерывно конвертируемую ставку доходности по t периодам, имеет неограниченно делимое распределение. Пусть ее функция распределения
F(х, t) = рrоb [Х(t) ≤ х],
а ее ПФМ
М(z, t) = Е [ехр{ zХ(t)} ]
Путем предположения, что М(z, t) является непрерывной в точке t = 0,
можно доказать, что
М(z, t) = [М(z, 1)]t.
Преобразование Эсшера случайной величины – уже установившееся понятие, а здесь рассмотрим преобразование Эсшера случайного процесса, которое удовлетворяет равенству (6.2). Преобразование Эсшера с параметром h случайного процесса { Х(t), t ≥ 0} снова является процессом со стационарными и независимыми приращениями; модифицированное распределение Х(t) теперь приобретает вид
|
x |
|
F(x, t; h) = prob[X (t) ≤ x; h ]= |
∫ ehydF(y, t) |
|
− ∞ |
||
∞ |
||
|
||
|
∫ ehydF(y, t) |
|
|
− ∞ |
|
1 |
x |
|
= |
∫ ehydF(y, t) . |
||
|
|||
|
M (h, t) |
||
|
|
− ∞ |
M (z, t; h) = M (z + h, t) .
Из (6.2) следует, что |
|
|
|
t |
|
М(z, t; h) = M (z + h,t) |
|
= [М(z, 1; h)] t. |
M (h, t) |
|
|
261
Поскольку экспоненциальная функция положительная, модифицированная вероятностная мера является эквивалентной по отношению к первоначальной вероятностной мере, т. е. обе вероятностные меры имеют одни и те же множества меры нуль. Соответствующий параметр h = h* определяется согласно принципу нейтрального к риску определения стоимости (см. гл. 2) или, используя терминологию гл. 3 и гл. 4, мы ищем h = h*, чтобы получить эквивалентную мартингальную меру.
Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и обозначается символом r, а также, что рынок является невязким и торговля непрерывная. Не имеется налогов, издержек на сделки и ограничений на займы или короткие продажи. Все ценные бумаги совершенно делимы. Далее предположим, что акция выплачивает непрерывный поток дивидендов с нормой, пропорциональной ее цене, т. е. имеется неотрицательная константа ρ такая, что дивиденд, выплачиваемый между моментами времени t и t + dt, равен S (t) ρ dt. Ищем параметр h = h* так, чтобы процесс { S(t) ехр{− (r − ρ ) t} , t ≥ 0} являлся мартингалом по отношению к вероятностной мере, соответствующей h*. В частности,
S(0) = Е [S(t) ехр{− (r − ρ ) t} ; h*]; |
(6.27) |
отсюда по формулам (6.1) и (6.2)
ехр{ (r − ρ ) t} = Е [ехр{ Х(t)} ; h*] = [М(1, 1; h*) ] t,
или
ln [М(1, 1; h*)] = (r − ρ ). |
(6.28) |
Назовем преобразование Эсшера с параметром h* нейтральным к риску преобразованием Эсшера, а соответствующую эквивалентную мартингальную меру нейтральной к риску мерой Эсшера. Цена фи-
нансовой производной, чьи платежи зависят от { S(t)} называется дисконтированной ожидаемой стоимостью, где математическое ожидание вычисляется по нейтральной к риску мере Эсшера.
При некоторых условиях регулярности уравнение (6.28) имеет единственное решение. Чтобы показать это, рассмотрим функцию
G(h) = ln [М(1, 1; h)] = ln [М(1 + h, 1)] − ln [М(h, 1)].
262
Формула
dhd E[X (1); h ]= var[X (1); h ]
показывает, что Е [Х(1); h] – возрастающая функция h. Отсюда
dhd g(h) = E[X(1) ; 1+ h ]− E[X (1); h ]
является положительной, показывая, что g (h) – возрастающая функция. Это и обеспечивает единственность решения уравнения (6.28), которым является
g(h) = r − ρ .
Чтобы рассмотреть проблему существование решения, обозначим через М ≤ + ∞ и т ≥ − ∞ соответственно правую и левую конечные точки интервала возможных значений величины Х(1). Предположим, что т + ρ <r <М + ρ , или т <r − ρ <М, поскольку в противном случае был бы возможен арбитраж. Пусть (а, b) обозначает интервал значений h, для которого существует g(h). При некоторых условиях регулярности
lim g(h) = m, |
lim g(h) = M , |
h↓ a |
h↑ b |
и в этом случае уравнение (6.27) имеет решение. Следует заметить, что хотя нейтральная к риску мера Эсшера является единственной, могут быть и другие эквивалентные мартингальные меры (например, в работе F. Delbaen, J. Haezendonck (1989) изучаются эквивалентные меры составных пуассоновских процессов).
Цена финансовой производной принимается как математическое ожидание ее дисконтированных выплат по нейтральной к риску мере Эсшера. Например, рассмотрим европейский опцион-колл на акцию с ценой исполнения K и датой истечения t, t > 0. Пусть I(.) обозначает индикаторную функцию и k = ln[K/S(0)]. Цена опциона в момент 0
e− rt Е [(S(t) − K)I(S (t) > K) ; h*] =
= e− rt Е [S(t)I(S (t) > K); h*] − e− rt KЕ [I (S (t) > K); h*]. (6.29)
Математическое ожидание во втором слагаемом правой части равенства (6.29) равно
рrоb [S (t) > K; h*] = 1 − F (k , t; h*).
263
Чтобы оценить математическое ожидание в первом слагаемом правой части (6.29), заметим, что для каждой измеримой функции g(.)
E[g(S(t));h] = |
E[g(S(t))ehX (t) ] |
= |
E[g(S(t))S(t)h ] |
. |
|
E[ehX (t) ] |
E[S(t)h ] |
||||
|
|
|
Используя эту формулу, можно доказать следующий результат. Лемма 6.1. Пусть h и k являются двумя вещественными чис-
лами. Предположим, что преобразования Эсшера с параметрами h и h + k существуют. Тогда для каждой измеримой функции ψ (.)
Е [S (t)k ψ (S(t)); h] = Е [S (t)k; h] × Е [ψ (S(t)); h + k].
Применяя лемму при k = 1, ψ (х) = I (х > K) и h = h* и представление (6.27), получим
Е[S(t) I(S(t) > K) ; h*] = Е[S(t) ; h*] Е[I(S(t) > K) ; h*+ 1] = = S(0) e(r− ρ )t рrоb [S(t) > K ; h* + 1].
Таким образом, цена европейского опциона-колл равна
S(0) e− ρ t [1 − F (k, t; h* + 1)] − e− rt K [1 − F(k, t; h*)]. (6.30)
Если { Х(t)} является винеровским процессом с дисперсией за единицу времени σ 2, тогда согласно формуле (6.30)
|
− |
k + (r − ρ + σ |
2 2)t |
− |
|
− |
k + (r − |
ρ − σ |
2 2)t |
, (6.31) |
S(0) e− ρ tΦ |
|
|
|
e− rτ KΦ |
|
|
|
|
||
|
|
σ t |
|
|
|
|
σ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф обозначает функцию стандартного нормального распределения. При ρ = 0 этот результат становится классической формулой Блэка – Шоулса (6.12) для определения цены опциона. Формула (6.31)
впервые другим способом была получена С. Смитом (1976).
Теперь предположим, что акция выплачивает дивиденды с постоянной пропорциональной нормой ρ . Если все дивиденды реинвестируются в акции, тогда каждая доля акции в момент времени 0 вы-
растает до eρ t долей в момент времени |
t. Это дает следующую ин- |
терпретацию для формулы (6.27): |
|
S (0) = Е [ехр{− rt} S (t) ехр {ρ |
t} ; h*]. |
264