Теперь рассмотрим частный случай, когда акция не выплачивает

V(S, L, ∞ ) = S + (R − L) (L/S) − θ 0 = S + (R − L) (L/S) 2rσ 2 .

Этот результат можно также найти у Р. Мертона (1973).

Для доказательства этой формулы мы сначала заметим, что величина λ (S, L, М) является возрастающей функцией М и, следовательно, первое слагаемое правой части равенства (6.67) ограничено

величиной R λ (S, L, ∞ ) = R (L/S) − θ 0 . Второе слагаемое правой части равенства (6.67) можно оценить следующим образом

§ 9. РУССКИЙ ОПЦИОН

Пусть М является числом таким, что М ≥ S. Пусть также

М(t) = mах [М, mах { S(и) | 0 ≤ и ≤ t} ],

что можно интерпретировать как максимум цены акции за время t. Заметим, что пара { S(t), М(t); t ≥ 0} является однородным марковским процессом. Термин «русский опцион» предложен Л. Шеппом и А. Ширяевым (Shepp, Shiryaev, 1993) для описания бессрочного американского опциона, платеж которого равен М(t), если он исполняется в момент времени t, t ≥ 0. То есть владелец русского опциона имеет привилегию получить максимум цены акции за время до того момента, в который он решил исполнить опцион. Цена опциона в момент

276

Пусть k является числом 0 <k <1. Для текущей цены акции S = S(0) при kМ ≤ S рассмотрим стратегию исполнения опциона в момент ос-

тановки Тk = inf { t | S(t) = k М (t)} .

Стоимость этой стратегии обозначим R(S, М; k). Заметим, что

R(S, М; k) = М R(S /М, 1; k).

Отсюда и из определений λ и µ следует, что

R(S, М; k) = М λ (S, kМ, М) + R(М, М; k) µ (S, kМ, М) =

= М [λ (S, kМ, М) + R(1, 1; k) µ (S, kМ, М)].

Подставляя явные значения λ и µ ,

R(S, М; k) = М [λ (S/М, k, 1) + R(1, 1; k) µ (S/М, k, 1)] =

где R(1, 1; k) определяется с помощью условия на границе при S = М. Условие исполнения русского опциона может быть получено путем следующих эвристических рассуждений. Если текущая цена акции S очень близка к М, можно быть уверенным «почти наверняка», что цена акции достигнет уровня М (и, следовательно, что максимум будет увеличиваться) до того, как опцион будет исполнен. Таким образом, если S близко к М, функция R (S, М; k) не зависит от точного

значения М и его производная по М

277

что дает

Подставим это выражение в формулу (6.68) и получим после упрощений следующий результат:

Теперь ясно, что оптимальное значение k является значением, которое минимизирует знаменатель, производная которого равна

Формулы (6.69) и (6.70) являются эквивалентными формулам, полученным Л. Шеппом и А. Ширяевым.

§ 10. КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Предположим, что выборочные траектории { S (t)} или, что эквивалентно, { Х(t)} не имеют скачков вниз (это предположение было использовано при получении цены (6.39)). Тогда имеет место следующая декомпозиция:

Здесь { Y(t)} является или составным пуассоновским процессом с положительными приращениями или пределом такого процесса;

278

{ W(t)} – стандартный винеровский процесс с нулевым средним и единичной дисперсией за единицу времени; последнее слагаемое ct представляет собой систематический дрейф. Производящая функция семиинвариантов случайной величины X(t) имеет вид

где Q (х) – неотрицательная и невозрастающая функция с Q(∞ ) = 0. Заметим, что для всякого положительного числа ε интеграл

∞

∫ (ezx − 1)[− dQ (x)],

ε

как функция от z, является производящей функцией семиинвариантов составного распределения Пуассона с пуассоновским параметром

λ(ε) = Q(ε)

ираспределением величины скачка

Для простоты обозначений предположим, что − Q (х) = q (x) dx для некоторой неотрицательной функции q(x). Пусть µ и σ 2 обозначают соответственно среднее и дисперсию { Х(t)} за единицу времени. Тогда

279

Вообще для п ≥ 3 п-й семиинвариант случайной величины Х(t) равен

Из формул (6.4) и (6.72) следует, что

ln[M(z, t; h)] = ln[M(z + h, t)] − ln[M(h, t)] =

Таким образом, преобразование Эсшера с параметром h процесса, определяемого соотношением (6.71), имеет такой же вид со следующими модификациями:

Кроме того, из (6.76) следует, что (6.28) и (6.36) можно записать соответственно как

Частный случай

Для модели, определяемой соотношениями (6.1) и (6.71), теперь предположим, что v = 0, т. е. S (t) = S (0) ехр{Y(t) − ct}, и что

q (x) = ахα − 1e− bx, x > 0,

где а > 0, α > − 1 и b > 0 являются параметрами.

В соответствии с модификацией (6.77) для h <b преобразование Эсшера такого процесса является членом этого же семейства с параметром b, замененным на

b(h) = b − h.

280

Таким образом, для α = 0 процесс { Y(t)} t ≥ 0 является гаммапроцессом; для α > 0 он является составным процессом Пуассона с пуассоновским параметром λ (а, α , b) = аГ(α ) ⁄ bα и гаммаплотностью вероятностей величины скачков

Для − 1 <α <0 наиболее известным случаем является α = − ½, если { Y(t)} t ≥ 0 – обратный гауссов процесс с плотностью вероятностей случайной величины Y(t) вида

281

что при ρ = 0 превращается в формулу (6.15). В общем случае вид уравнения (6.79) не позволяет получить решение для b* в явной форме. Однако если α = 1 (величины скачков распределены экспоненциально), решение имеет вид

b и с методом моментов. Таким образом, можно считать известными µ , σ и третий центральный момент Х(1), который удобно записать как γσ3 (γ является коэффициентом асимметрии). Эти три момента можно

Из этих равенств получим b = (α + 2)/γσ (при определении стоимости финансовой производной это b нужно заменить на b*)

Формулы для отрицательных корней уравнения (6.78)

0

или

282

Явное выражение интеграла в левой части равенства (6.85) можно получить с помощью ПФМ случайной величины Y(t).

Если α = 0, то равенство (6.85) приобретает форму

Подстановка b*, полученного из формулы (6.86), в выражение (6.81) приводит к равенству

e− cθ /a + θ [e δ /a − e− (c−ρ )/a] = e δ /a.

С помощью формул (6.83) и (6.84) получаем

Если α ≠ 0 и α > − 1, то уравнение (6.85) приобретает вид

где b* определяется из уравнения (6.80). Уравнение (6.87) упростится при α = 1 к виду

что является квадратным уравнением относительно θ , а b* определя-

ется из (6.82),

В случае отсутствия дивидендов (ρ = 0) положительный корень

уравнения (6.88) равен θ 1 = 1, а отрицательный корень выражается в виде θ 0 = −δ b*/с.

283