ГЛАВА

4

МАРТИНГАЛЫ

ИСТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

ВТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ТОРГОВЛИ

§1. ПОСТАНОВКИ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ

Вэтой главе будет разработана общая стохастическая модель невязкого рынка ЦБ с непрерывной торговлей. Векторный процесс цен задается полумартингалом определенного класса, и для представления прибыли капитала используется общий стохастический интеграл. В рамках этой модели рассмотрим современную теорию определения

стоимости зависимых исков, включая знаменитую формулу Блэка − Шоулса для определения цены опционов. Будет показано, что рынок ЦБ является полным, если и только если его векторный процесс цен имеет определенное свойство мартингального представления. Многомерное обобщение модели Блэка − Шоулса исследовано несколько детальнее, а другие примеры обсуждены кратко.

Вначале представим краткий обзор избранных результатов. Основной предмет главы – теория рынков ЦБ с непрерывной торговлей, что является очень важной темой в финансовой экономике. Рассмотрим общую стохастическую модель невязкого рынка без организационных затрат (frictionless) с непрерывной торговлей, в дальнейшем называемого просто непрерывным рынком (continuous market), затем обсудим современную теорию определения стоимости зависимых исков (определения цены опционов) в контексте этой модели. Описанная здесь математическая структура также потенциально полезна для изучения проблем инвестирования/потребления, но с этой темой непосредственно не будем иметь дела.

Упоминая современную теорию определения стоимости случайных зависимых исков, прежде всего имеем в виду формулу определения цены опционов Блэка − Шоулса (1973). Поэтому начнем главу с краткого изложения теории Блэка − Шоулса и смежных вопросов. В целях введения некоторые термины будут использоваться во временном узком смысле, а математические определения устанавливаться неформально или даже вообще опускаться. Для более или менее кон-

151

кретной мотивации общей теории делается акцент на единственную экономическую проблему, которую мы называем полнотой рынка.

Формула определения цены опционов

Пусть W = {Wt; 0 ≤ t ≤ T} будет процессом стандартного (с нулевым дрейфом и единичной дисперсией) броуновского движения на некотором вероятностном пространстве (Ω , F, P), а r, µ и σ − числовые константы с σ > 0. Естественно предполагать, что в рассматриваемом случае µ > r > 0, но это ограничение не является необходимым. Теперь определим

где начальные ценности S00 и S01 − положительные константы.

Такие обозначения используется во всей главе. Временной параметр процесса дается нижним индексом, а компоненты векторного процесса цены актива S – верхним индексом k = 0, 1,…, K. Различие между верхним индексом и показателем степени будет всегда ясно из контекста. Интерпретируем St0 как цену безрисковой облигации в момент времени t при соответствующей безрисковой процентной ставке

(risklеss intеrеst rаtе) r. Интерпретируем St1 как цену во время t за ак-

цию (shаrе) акционерного капитала (stосk), за которую не выплачивается никаких дивидендов. В более общем смысле мы могли бы называть S0 и S1 соответственно процессами цен для безрисковых активов (risklеss sесurity) и рисковых активов (riskу sесurity). Для наших целей единица актива k может рассматриваться просто как ЦБ, которую можно обменять на Stk денежных единиц в любое время t (k = 0, 1). Рыночная стоимость облигации экспоненциально растет при ставке r, в то время как рыночная стоимость акции флуктуирует случайно.

Применяя формулу Ито к равенствам (4.1) и (4.2), заметим, что наши ценовые процессы S0 и S1 удовлетворяют стохастическим дифференциальным уравнениям

152

деют в момент времени t. Предположим, что ϕ t является портфелем ЦБ, которым владеют в момент времени t. Из равенства (4.10) видим, что рыночная стоимость портфеля, которым владеют в момент времени t, равна

ϕ t0St0 + ϕ 1t St1= Vt, 0 ≤ t ≤ T.

Таким образом, используя равенства (4.7) и (4.8), получаем начальную стоимость портфеля V0 = f( S01 , T), а стоимость портфеля при

погашении VТ = f( ST1 , 0) = ( ST1 − c)+ в точности равна стоимости оп- циона-колл в момент погашения. Наконец, применяя формулу Ито к

Правая сторона равенства представляет полный доход, или прибыль капитала, которую инвестор реализует с помощью своих активов к моменту времени t (см. § 3). Таким образом, форма (4.13) свидетельствует о том, что все изменения стоимости портфеля инвестора обязаны прибыли капитала в противоположность изъятию наличных денег или вливанию новых фондов. На языке гл. 3 − это стратегия самофинансирования, что завершает мотивировку формулы определения стоимости (4.5).

Зафиксируем стратегию торговли, которая требует начальной инвестиции π = f( S01 , T), и после этого построим точно такую же модель потоков платежей, как у опциона-колл. Это означает, что опцион вос-

155

производим (аttаinаblе) на рассматриваемом рынке с ценой π в нулевой момент времени портфелем только из акции и облигации. В экономической литературе общепринято идти далее, рассуждая, что арбитражная прибыль могла быть сделана, если опционы были проданы на параллельном рынке по какой-либо цене, другой, чем π , и что существование арбитражных возможностей противоречит равновесию в полной экономической системе. Для получения содержательной математической теории остановимся на утверждении воспроизводимости. В этой главе мы рассматриваем изолированный рынок, на котором торгуют определенными ЦБ, принимая, что никакие арбитражные возможности не существуют внутри этого рынка (см. § 2). Мы стремимся характеризовать класс финансовых производных, которые достижимы для инвесторов, и цены, по которым они могут быть воспроизводимы, только с помощью названных ЦБ. Например, при рассмотрении оценочной формулы (4.5) мы сосредоточили внимание на рынке, где торгуют только акциями и облигациями, и обнаружили, что инвесторы могут воспроизводить опционы-колл для себя на этом рынке по цене, определяемой по формуле (4.5).

В заключение вернемся к предположению о неограниченных коротких продажах. С точки зрения нашей формальной теории это просто означает, что любая составляющая портфеля k может быть отрицательной. Короткая продажа облигации соответствует заимствованию (а не аренде) денег по безрисковой процентной ставке r. Для частной торговой стратегии ϕ , определяемой соотношениями (4.9) и (4.10), можно проверить, что V и ϕ 1 являются положительными, но ϕ 0 может быть отрицательным. Таким образом, чтобы дублировать поток платежей опциона-колл, инвестор всегда будет обладать положительной суммой акционерного капитала, но, возможно, ему надо будет финансировать приобретение части акций инвестора путем безрискового заимствования (коротко продавая облигации). В частности, формула (4.5) определения стоимости опциона-колл фактически не требует предположения, что акцию можно продать коротко без ограничения, но короткая продажа акции может потребоваться, чтобы воспроизводить потоки платежей других типов опционов. Объяснение коротких продаж можно найти в книге У. Шарпа (1978).

Полнота рынка

Выше мы обосновали формулу определения стоимости (4.5) без предположений, при которых она была выведена впервые. Получение формулы, или точнее наш подход к ее получению, будет рассмотрен в

156

§ 5, где мы также покажем, что результат предыдущего подпараграфа о воспроизводимости может быть существенно обобщен. Дело в следующем. Пусть

FТ = F{St; 0 ≤ t ≤ Т}

означает, что FТ состоит из всех событий, чье появление или непоявление может быть определено по характеру изменения цены акции до момента времени T. Определим финансовую производную или зависимую выплату (соntingеnt сlаim) как неотрицательную случайную переменную X, измеримую относительно FТ (в дальнейшем будем писать X FТ). Такое определение является нашим формальным представлением для актива, дающего право предъявителю на оплату в момент времени T, размер которой зависит (произвольным способом) от эволюции цены до T. Конечно, данное определение можно расширить, чтобы рассмотреть выплаты в другие моменты времени, но это усложнит обозначения. Для европейского опциона-колл, рассмотренного выше, X = (SТ − c)+. Обобщая упомянутые ранее идеи, можно сказать, что зависимая выплата X достижима при цене π на нашем рынке ЦБ, если почти наверное существует самофинансирующая торговая стратегия ϕ с соответствующим процессом рыночной стоимости V таким, что V0 = π и VT = Х. Чтобы сделать это строгим, конечно, потребуется общее определение стратегии самофинансирования (и связанного с ней процесса стоимости), но мы полагаем, что смысл определения ясен. Замечательное свойство описанной диффузионной модели – это то, что каждая зависимая выплата достижима, и можно даже записать общую (точнее, абстрактную) формулу определения стоимости для цены π , связанной с данной выплатой X. Формула определения стоимости имеет вид

где E*(.) − оператор математического ожидания, связанный с (очень специфической) вероятностной мерой Q на (Ω , F). Мера Q эквивалентна P, т. е. Q(A) = 0, если и только если P(A) = 0 (две меры имеют те же нулевые множества). Формула Блэка − Шоулса (4.5) является частным случаем выражения (4.14).

Нестрого принимая стандартные термины экономической теории, будем говорить, что модель рынка ЦБ полная, если каждая зависимая выплата воспроизводима. (В § 3 дано строгое определение.) Полнота

157

модели Блэка − Шоулса, в несколько ином смысле, и общая формула определения стоимости (4.14) была доказана в гл. 3.

Важной и интересной особенностью модели Блэка − Шоулса является ее полнота, а не тот факт, что она дает явную формулу определения стоимости (4.5) опциона-колл. Мы принимаем эту точку зрения в гл. 4, исследуя структурные особенности различных моделей, не проводя расчетов в явной форме. (Хотя в конце главы даются расчеты, которые иллюстрируют практичность подхода.) С этой точки зрения следующий вопрос является как естественным, так и фундаментальным

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Предположим, что рассмотренный векторный процесс цены заменен некоторым другим положительным векторным процессом S = {St; 0 ≤ t ≤ T} с сохранением без изменений всех других предположений и определе-

ний. Какие процессы S дают полный рынок? (4.15)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Значительная доля нашего внимания уделяется этому вопросу. Рассуждения будем доводить до степени, когда проблема приобретет строгую математическую форму, после чего она сведется к эквивалентной задаче из теории мартингалов.

Сделаем два наблюдения. Во-первых, отметим, что для полноты рынка не является ни необходимым, ни достаточным то, что процесс цены S имеет непрерывные выборочные траектории. В частности, воспроизводимость опциона-колл в описанной модели требует намного больше, чем непрерывность процесса цены акции, хотя, конечно, принятые точные предположения о распределении можно ослабить (пример рассмотрен в § 6). Во-вторых, марковское свойство совершенно не соответствует вопросу, сформулированному в предположении (4.15). Фактически может быть сделано более сильное утверждение.

Рассмотрим рыночную модель, в которой процесс цены активов S определен на некотором вероятностном пространстве (Ω , F, Р). Теперь рассмотрим вторую модель, идентичную предыдущей во всех отношениях, за исключением того, что P заменена на эквивалентную вероятностную меру Q. Тогда зависимая выплата будет воспроизводимой при цене π в первой модели, если и только если она воспроизводима при той же цене во второй модели. Следовательно, первая модель полная, если и только если полная вторая. Эти утверждения не могут быть очевидны, так как точные определения не давались, но бу-

158

дем надеяться, что они, по крайней мере, правдоподобны в этом месте. Сформулируем утверждение по-другому, когда для решения вопроса (4.15) уместны только нулевые множества распределения S. При выяснении, является ли каждая зависимая выплата, получаемая из S, достижимой на рынке, нас интересуют только такие множества выборочных траекторий, которые либо имеют, либо не имеют положительной вероятности. Таким образом, сведения из теории вероятности, необходимые для ответа на вопрос (4.15), − это результаты, обеспечивающие инвариантность при переходе к эквивалентной мере.

Вероятностная постановка

Прежде чем строго сформулирвать вопрос полноты (4.15), нужно иметь общую модель рынка с непрерывной торговлей. Опишем минимальную структуру модели, необходимую для изучения ее полноты, опуская некоторые особенности теории, фактически разрабатываемой позже. Наша первая задача состоит в том, чтобы решить сле-

предполагая, что безрисковая процентная ставка является и детерминированной, и постоянной. Пусть β t = exp (− rt) и β назовем внутрен-

ним дисконтированным процессом (intrinsic discount process) для S.

Будет показано, что если требуется построить внутренне последовательную теорию, то нужно рассматривать только такой процесс цены

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Именно эта Q, называемая иногда эталонной мерой (rеfеrеnсе mеаsиrе), входит в общую формулу определения стоимости (4.14). Последствием требования (4.17) является то, что S должен быть так

159

называемым полумартингалом, и у нас, к счастью, есть в наличии хорошо развитая теория, имеющая дело с заменой меры для полумартингалов. Эта теория, которая развилась из теоремы Гирсанова (1960) для процессов Ито, является строгой, что необходимо для проверки или опровержения условия (4.17) в любой заданной модели.

Обратившись к проблеме моделирования (4.16), определим торговую стратегию ϕ как предсказуемый векторный процесс. Определим прибыль капитала согласно стратегии ϕ как стохастический интеграл от ϕ относительно векторного процесса цены S, а затем – стратегию самофинансирования точно так же, как в соотношении (4.13). Поскольку процесс цены – полумартингал, то в наличии имеется необходимая общая теория стохастического интегрирования. Наконец, находим, что наша модель полная, если и только если каждый процесс, который является мартингалом при Q, может быть записан как стохастический интеграл относительно процесса β S в условии (4.17). На языке теории мартингалов модель полна, если и только если β S имеет свойство мартингального представления при нашей эталонной мере Q.

Сказанное предназначено, чтобы предположить, что современная теория мартингалов и стохастических интегралов обеспечивает строго математическую структуру, необходимую для теории непрерывной торговли. Поскольку такой подход интенсивно развивается, появится больше общих результатов в математической теории, которые выглядят так, как будто они были созданы для этого применения. Можно надеяться, что все стандартные проблемы, изучаемые в теории мартингалов, и все главные результаты найдут интерпретации и применения в рыночных постановках.

Для усвоения результатов, представленных в этой главе, необходимо хорошее знание теории вероятностей и стохастических процессов, но никакого специального знания экономики. Большая часть материала будет доступна для тех, кто знает стохастическое интегрирование по броуновскому движению, а остальное должно стать понятным после небольшого изучения уместного основополагающего материала. (При ознакомлении с материалом полезно интерпретировать общие результаты как случай, когда S становится процессом Ито.)

Основным в этой главе будет § 3, который содержит общую теорию непрерывных рынков. В § 2 дано частичное развитие аналогичной теории для конечных рынков. (Конечный рынок – это рынок, где торговля имеет место в дискретные моменты времени, и лежащее в основе вероятностное пространство конечно.) Обращаясь сначала к

160