§ 4. ОПЦИОНЫ НА НЕСКОЛЬКО РИСКОВЫХ АКТИВОВ
Обобщим метод преобразования Эсшера для определения цены финансовых производных совокупности рисковых активов или объединения (пула) активов. В финансовой литературе эта тематика считается важной. Очевидным применением таких результатов являются портфели страхования или конструирование стратегий хеджирования для защиты портфелей активов от потерь. Другие применения: определение стоимости обязательств, включающих одну или более иностранных валют; определение цены опционов на фьючерсы облигаций; пенсионные фонды с пособиями, связанными с несколькими альтернативами. Двумя альтернативами являются обычно совокупность последней (или средней) зарплаты и накопленные взносы. Конструкция такого пособия предусматривает для плановых участников выбор максимального из двух случайных сумм пособий.
Пусть S1(t), S2(t),…, Sn(t) обозначают цены акций или активов в момент времени t для t ≥ 0, не предусматривающих дивиденды. Запишем
Хj (t) = ln[Sj (t)/Sj (0)], j = 1, 2,…, n,
и
Х(t) = (Х1(t), Х2(t),…, Хn(t))Т.
Пусть Rn обозначает множество векторов-столбцов с n вещественными компонентами. Пусть
F (х, t) = рrоb { Х(t) ≤ х} , х Rn,
является функцией распределения случайного вектора Х(t), а
М(z, t) = Е[ехр{ zТХ(t)} ], z Rn,
ее ПФМ. Предположим, что { Х(t)} t ≥ 0 – случайный процесс с независимыми и стационарными приращениями и что
М(z, t) = [М(z, 1)] t, t ≥ 0.
Для простоты также предположим, что случайный вектор Х(t) имеет плотность вероятностей
251
f (x, t) = |
∂n F(x, t) |
, t ≥ |
0. |
|
∂x |
...∂x |
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
Тогда модифицированная плотность вероятностей процесса Х(t) после преобразования Эсшера с параметром h имеет вид
|
f (x, t; h) = |
ehT x f (x, t) |
, |
|
M (h, t) |
|
|
|
а соответствующая ПФМ
М(z, t; h) = М(z + h, t)/ М(h, t).
Преобразование Эсшера (с вектором параметров h) процесса Х(t) является снова процессом со стационарными и независимыми приращениями и
М(z, t; h) = [М(z, 1; h)] t, t ≥ 0. |
(6.19) |
В общем случае, когда плотность вероятностей f (х, t) может не существовать, определим преобразование Эсшера в терминах интегралов Стильтьеса, как мы сделали в представлении (6.11).
Вектор параметров преобразования h = h* определим так, чтобы для j = 1, 2,…, n процесс
(e− rt S j (t))t ≥ 0
был мартингалом по отношению к модифицированной вероятностной мере. В частности,
S j (0) = E[e− rt S j (t);h*], t ≥ 0, j = 1, 2, … , n. |
(6.20) |
(Заметим, что эти условия не зависят от t.) Стоимость ФП вычисляется как математическое ожидание по модифицированной вероятностной мере от дисконтированной стоимости ее платежей.
Определим
1j = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)Т Rn,
где 1 в этом векторе-столбце 1j стоит на j-м месте. Формулы (6.20) с учетом (6.19) преобразуются к виду
er t = М(1j, t; h*) = [М(1j, 1; h*)] t, t ≥ 0, j = 1, 2,…, n.
Основной результат этого параграфа следующий.
Теорема 6.1. Пусть g является вещественной измеримой функцией n переменных. Тогда для каждого положительного t
E[e− rt S j (t)g (S1(t),..., Sn (t)); h*] =
= S j (0) E[g(S1(t),..., Sn (t)); h * + 1j ]. |
(6.21) |
Доказательство. Оно следует такой же схеме рассуждений, которая использовалась при получении формулы (6.10) для европейского опциона-колл. Математическое ожидание в левой части равенства (6.21) получается путем интегрирования
e− rt S |
j |
(0)ex j g (S |
(0) ex1 ,..., S |
n |
(0) exn ) f (x, t; h *) |
|
|
1 |
|
|
|
|
по х по всему Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex j f (x, t; h *) = exp[(h * + 1j )T x] f( x, t) M( h*, )t = |
|
|
= |
M (h * + |
1j ,t) |
f (x, t; h * + 1j) = |
|
|
M (h*, t) |
|
|
|
|
|
|
|
= М(1j, t; h*) f (х, t; h* + 1j) = ert f (x, t; h * + 1j ),
откуда и следует результат.
Имеется другой способ доказательства теоремы. Для векторного
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параметра k = (k1, … , kn)Т запишем S(t)k = |
S |
(t)k1 ... S ( t) kn |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
E[S(t)k g(S(t));h] = |
E[S(t)k g(S(t))ehT X (t) ] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E[ehT X (t) ] |
|
|
= |
E[S(t)k g(S(t)) S(t)h ] |
= |
E[S(t)k + h |
] |
× |
E[g(S(t))S(t)k + h ] |
= |
E[S(t)h ] |
|
E[S(t)h ] |
|
|
E[S(t)k + h ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Е[S(t)k; h] × Е[g (S(t)); k + h].
253
Теперь теорема следует из этой формулы факторизации (при h = h* и k = 1j) и равенства (6.20).
Одним из первых результатов, обобщающих формулу Блэка – Шоулса для определения цены финансовых производных на более чем один рисковый актив является результат У. Маргрейба (Margrabe, 1978). В предположении, что цены активов – это геометрические броуновские движения, им получена явная формула для стоимости опциона для обмена одного рискового актива на другой в конце фиксированного периода. Другими словами, определена стоимость в момент времени 0 контракта, по которому в момент времени τ выплачиваются платежи, стоимость которых равна [S1(τ ) − S2(τ )] +.
Следствие 6.1. Стоимость в момент времени 0 опциона для обмена S2(τ ) на S1(τ ) в момент времени τ равна
S1(0) рrоb { S1(τ ) > S2(τ ); h* + 11} − S2(0) рrоb { S1(τ ) > S2(τ ); h* + 12} .
Доказательство. Стоимость опциона в момент 0 равна
Е( e− rτ [S1(τ ) − S2(τ )]+; h*).
Пусть I(А) обозначает индикаторную функцию случайного события А. Тогда
[S1(τ ) − S2(τ )] + = [S1(τ ) − S2(τ )] × I [S1(τ ) > S2(τ )] =
= S1(τ ) × I [S1(τ ) > S2(τ )] − S2(τ ) × I [S1(τ ) > S2(τ )].
Таким образом, по теореме 6.1
Е( e− rτ [S1(τ ) − S2(τ )] +; h*) =
= Е( e− rτ S1(τ )I [S1(τ ) > S2(τ )]; h*) − |
Е( e− rτ S2(τ )I [S1(τ ) > S2(τ )]; h*) = |
= S1(0)Е (I [S1(τ ) > S2(τ )]; h* + 11) − |
S2(0)Е (I [S1(τ ) > S2(τ )]; h* + 12). |
Так как Е(I [А]) = рrоb (А), следствие доказано.
В § 5 рассмотрим предположение о геометрическом броуновском движении и покажем, что формула Маргрейба немедленно следует из следствия 6.1. Теперь дадим другой способ получения формулы (6.10) для европейского опциона-колл.
Следствие 6.2. Формула (6.10) имеет место.
Доказательство. |
Рассмотрим случай n = 2 при |
S1(t) = S(t) и |
S2(t) = Ker(t− τ ) . Тогда |
|
|
|
Е*( e− rτ [ S(τ ) − K]+) = Е ( e− rτ [S1(τ ) − S2(τ )]+; h*) = |
= S1(0) рrоb ([S1(τ ) > |
S2(τ )]; h* + 11) − |
|
– S2(0) рrоb ([S1(τ ) > |
S2(τ )]; h* + 12) = |
|
= S (0) рrоb ([S (τ ) > |
K]; h* + 1) − |
e− rτ K рrоb ([S (τ ) > |
K]; h*) = |
= S (0){ 1 − рrоb ( [S(τ ) ≤ |
K]; h* + 1)} − |
e− rτ K{ 1 − рrоb ([S (τ ) ≤ K]; h*)} , |
что и является формулой (6.10).
Результат Маргрейба был обобщен Р. Шталцем (Stulz, 1982), где также предполагалось, что цены активов являются геометрическими броуновскими движениями. Путем сложных вычислений Шталц получил формулы для определения стоимости опционов на максимум и минимум двух рисковых активов; т. е., он нашел стоимость в момент времени 0 контракта с платежом в момент времени τ , равным
(mах[S1(τ ), S2(τ )] − K)+,
и стоимость в момент 0 контракта с выплатой в момент времени τ
(min[S1(τ ), S2(τ )] − K)+ .
Эти две формулы Шталца были обобщены на случай n рисковых активов Г. Джонсоном (Johnson, 1987). На самом деле, можно спросить: сколько следует заплатить в момент времени 0, чтобы получить наибольшую из стоимостей двух активов в момент времени τ ? Наибольшую из стоимостей трех активов? Наибольшую из стоимостей k активов? В более общем случае, какова стоимость европейского опциона-колл на наибольшую из стоимостей k активов в момент τ с ценой исполнения K? Заметим снова, упомянутые авторы предполагали, что цены активов являются геометрическими броуновскими движениями.
Для фиксированного времени τ , τ > 0, обозначим через S множество, состоящее из случайных величин { Sj (τ ); j = 1, 2,…, n} . Пусть S[k] обозначает случайную величину, являющуюся по своему значе-
нию k-й сверху из множества S. Таким образом, S[1] и S[n] обозначают соответственно максимум и минимум из S.
Следствие 6.3. Предположим, что Х(t) имеет непрерывное распределение. Тогда опцион для получения актива с k-й сверху стоимостью в момент τ имеет стоимость в момент времени 0 равную
∑n |
S j (0) рrоb { Sj(τ ) имеет ранг k в S ; h* + 1j} . |
(6.22) |
j= 1 |
|
|
Доказательство. Стоимость опциона в момент времени 0 равна
Е( e− rτ S[k]; h*).
Так как Х(t) имеет непрерывное распределение, имеем равенство
S[k] = ∑n S j (τ ) I{ Sj (τ ) имеет ранг k в S} .
j = 1
Теперь формула (6.22) следует из теоремы.
Следствие 6.4. Предположим, что Х(t) имеет непрерывное распределение. Тогда европейский опцион-колл на актив с k-й сверху стоимостью и ценой исполнения K в момент τ имеет стоимость в момент времени 0 равную
∑n |
S j (τ ) рrоb { Sj(τ ) > K и Sj (τ ) имеет ранг k в S; h* + 1j} |
− |
j = 1 |
|
|
|
|
− |
e− rτ K рrоb { S[k] > K; h*} . |
|
Доказательство |
следствия 6.4 является, по существу, комби- |
нацией доказательств следствий 6.2 и 6.3. Заметим, что когда |
K = 0, |
следствие 6.4 превращается в следствие 6.3. |
|
Имеется, очевидно, и много других применений теоремы 6.1. |
Например, в статье М. Шерриса (Sherris, 1992) анализировался «опцион налога на прирост капитала», платежи по которому в момент времени τ равны
(S (τ ) − mах[С(τ ), K])+,
где S (t) обозначает цену рискового актива в момент времени t и С(t) обозначает стоимость индекса в момент времени t.
Результат Шерриса следует из формулы
